Bài 12 trang 202 SBT Hình học 10

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 1} \right).$ Một góc vuông $uOv$ (vuông tại O) quay quanh gốc O, cắt elip (E) tại M và N. Chứng minh rằng $\frac{1}{{O{M^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}}$ không đổi, từ đó suy ra MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Lời giải chi tiết

Gọi $y = kx$ và $y =  - \frac{1}{k}x$ là phương trình của $Ou$ và $Ov$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $Ou$ và elip (E)

$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{k^2}{x^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow x_M^2 = \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{b^2} + {k^2}{a^2}}}.$

Ta có : $O{M^2} = x_M^2 + y_M^2 = x_M^2 + {k^2}x_M^2$ $= x_M^2({k^2} + 1) = \frac{{{a^2}{b^2}(1 + {k^2})}}{{{b^2} + {k^2}{a^2}}}$.

…………

Suy ra : $\frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{{{b^2} + {k^2}{a^2}}}{{{a^2}{b^2}(1 + {k^2})}}.$

Tương tự $\frac{1}{{O{N^2}}} = \frac{{{b^2} + \frac{1}{{{k^2}}}{a^2}}}{{{a^2}{b^2}\left( {1 + \frac{1}{{{k^2}}}} \right)}} = \frac{{{a^2} + {k^2}{b^2}}}{{{a^2}{b^2}(1 + {k^2})}}.$

Suy ra $\frac{1}{{O{M^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {k^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{{a^2}{b^2}\left( {1 + {k^2}} \right)}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}{b^2}}}.$

Vậy $\frac{1}{{O{M^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}}$ không đổi.

Vẽ đường cao OH của tam giác vuông OMN.

Ta có : $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{M^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}{b^2}}}.$

Suy ra $OH = \frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = R$ không đổi.

Vậy MN luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâ O bán kính $R = \frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$

Loigiaihay.com