Bài 12 trang 202 SBT Hình học 10

Giải bài 12 trang 202 sách bài tập Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : ...

Quảng cáo

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 1} \right).\) Một góc vuông \(uOv\) (vuông tại O) quay quanh gốc O, cắt elip (E) tại M và N. Chứng minh rằng \(\frac{1}{{O{M^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}}\) không đổi, từ đó suy ra MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Lời giải chi tiết

Gọi \(y = kx\) và \(y =  - \frac{1}{k}x\) là phương trình của \(Ou\) và \(Ov\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(Ou\) và elip (E)

\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{k^2}{x^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow x_M^2 = \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{b^2} + {k^2}{a^2}}}.\)

Ta có : \(O{M^2} = x_M^2 + y_M^2 = x_M^2 + {k^2}x_M^2\) \( = x_M^2({k^2} + 1) = \frac{{{a^2}{b^2}(1 + {k^2})}}{{{b^2} + {k^2}{a^2}}}\).

…………

Suy ra : \(\frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{{{b^2} + {k^2}{a^2}}}{{{a^2}{b^2}(1 + {k^2})}}.\)

Tương tự \(\frac{1}{{O{N^2}}} = \frac{{{b^2} + \frac{1}{{{k^2}}}{a^2}}}{{{a^2}{b^2}\left( {1 + \frac{1}{{{k^2}}}} \right)}} = \frac{{{a^2} + {k^2}{b^2}}}{{{a^2}{b^2}(1 + {k^2})}}.\)

Suy ra \(\frac{1}{{O{M^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {k^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{{a^2}{b^2}\left( {1 + {k^2}} \right)}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}{b^2}}}.\)

Vậy \(\frac{1}{{O{M^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}}\) không đổi.

Vẽ đường cao OH của tam giác vuông OMN.

Ta có : \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{M^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}{b^2}}}.\)

Suy ra \(OH = \frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = R\) không đổi.

Vậy MN luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâ O bán kính \(R = \frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)

Loigiaihay.com

Xem thêm tại đây: BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM
  • Bài 13 trang 202 SBT Hình học 10

    Giải bài 13 trang 202 sách bài tập Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):(x - 1) + {(y - 2)^2} = 4 và hai điểm A(1 ; 4),...

  • Bài 14 trang 203 SBT Hình học 10

    Giải bài 14 trang 203 sách bài tập Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật biết tọa độ hai đỉnh đối diện là (1 ; -5) và (6 ; 2), phương trình của một đường chéo là 5x + 7y - 7 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật.

  • Bài 15 trang 203 SBT Hình học 10

    Giải bài 15 trang 203 sách bài tập Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có AB:3x + 5y - 33 = 0 ; đường cao AH:7x + y - 13 = 0; trung tuyến BM:x + 6y - 24 = 0 (M là trung điểm của AC). Tìm phương trình các cạnh còn lại của tam giác.

  • Bài 16 trang 203 SBT Hình học 10

    Giải bài 16 trang 203 sách bài tập Hình học 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật có một đỉnh là O, diện tích bằng 12 và đường tròn ngoại tiếp (T) của có có phương trình là...

  • Bài 17 trang 203 SBT Hình học 10

    Giải bài 17 trang 203 sách bài tập Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn :...

Quảng cáo
list
close
Gửi bài