Giải bài 12 trang 15 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Một vật đang ở nhiệt độ 100°C thì được đặt vào môi trường có nhiệt độ 30°C.

Kể từ đó, nhiệt độ của vật giảm dần theo tốc độ

\(T'\left( t \right) =  - 140.{e^{ - 2t}}\) (°C/phút),

trong đó \(T\left( t \right)\) là nhiệt độ tính theo °C tại thời điểm \(t\) phút kể từ khi được đặt vào môi trường. Xác định nhiệt độ của vật ở thời điểm 3 phút kể từ khi được đặt vào môi trường (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của °C).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(T\left( t \right) = \int {T'\left( t \right)dt}  = \int {\left( { - 140.{e^{ - 2t}}} \right)dt}  =  - 140\int {{{\left( {{e^{ - 2}}} \right)}^t}dt}  =  - 140.\frac{{{{\left( {{e^{ - 2}}} \right)}^t}}}{{\ln {e^{ - 2}}}} + C = 70{e^{ - 2t}} + C\).

Thời điểm ban đầu vật đang ở nhiệt độ 100°C nên ta có:

\(T\left( 0 \right) = 100 \Leftrightarrow 70{e^{ - 2.0}} + C = 100 \Leftrightarrow C = 30\)

Vậy \(T\left( t \right) = 70{e^{ - 2t}} + 30\).

Nhiệt độ của vật ở thời điểm 3 phút kể từ khi được đặt vào môi trường là:

\(T\left( 3 \right) = 70{e^{ - 2.3}} + 30 \approx 30,2\left( {^ \circ C} \right)\).