Giải bài 11 trang 15 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2},x \le 1\\\frac{1}{x},x > 1\end{array} \right.\).

a) Chứng tỏ rằng hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

b) Tính \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2},x \le 1\\\frac{1}{x},x > 1\end{array} \right.\).

Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {x^2} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{x} = 1;f\left( 1 \right) = 1\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 1\) nên hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).

Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

b) \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}dx}  + \int\limits_1^2 {\frac{1}{x}dx}  = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_{ - 1}^1 + \left. {\ln {\rm{x}}} \right|_1^2 = \frac{2}{3} + \ln 2\).