Bài 1.13 trang 14 SBT đại số và giải tích 11

Giải bài 1.13 trang 14 sách bài tập đại số và giải tích 11. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số...

Quảng cáo

Đề bài

Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \(y = {\cos ^6}x + {\sin ^6}x\) tương ứng là

A. \(\dfrac{1}{4}\) và \(1\)                     B. \(\dfrac{3}{5}\) và \(\dfrac{3}{4}\)  

C. \(\dfrac{1}{2}\) và \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)                D. \(\dfrac{2}{3}\) và \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)  

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Biến đổi \({\cos ^6}x + {\sin ^6}x\) về dạng biểu thức chỉ chứa \(\sin f(x)\) hoặc \(\cos f(x)\).

Ta có \(\left| {\sin f(x)} \right| \le 1\) và \(\left| {\cos f(x)} \right| \le 1\) từ đó suy ra được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

Lời giải chi tiết

\({\cos ^6}x + {\sin ^6}x=\)

\(({\cos ^2}x + {\sin ^2}x)({\cos ^4}x - {\cos ^2}x{\sin ^2}x + {\sin ^4}x)\)

\(={({\cos ^2}x + {\sin ^2}x)^2} - 3{\cos ^2}x{\sin ^2}x\)

\(= 1 - 3{(\dfrac{{\sin 2x}}{2})^2} = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x\)

\(\begin{array}{l}
= 1 - \dfrac{3}{4}\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right)\\
= 1 - \dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x
\end{array}\)

\(= \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x\)

Mà \(0 \le {\cos ^2}2x \le 1 \)

\(\Rightarrow 0 \le \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x \le \dfrac{3}{4}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{4} \le \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x \le 1\)

\(\Rightarrow \dfrac{1}{4} \le y \le 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y\) là \(\dfrac{1}{4}\) đạt được khi \(\cos 2x = 0\),

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y\) là \(1\) đạt được khi \(\cos 2x = 1\).

Đáp án A.

Cách trắc nghiệm:

Khi x = 0 thì y = 1 lớn hơn 3/4, lớn hơn √2/2 và lớn hơn √3/2, nên ba phương án B, C, D bị loại.

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close