Bài 11 trang 7 SBT toán 9 tập 2

Giải bài 11 trang 7 sách bài tập toán 9. Dựa vào vị trí tương đối giữa hai đường thẳng dưới đây, hãy tìm mối liên hệ giữa các hằng số a, b, c và các hằng số a’, b’, c’ để hệ phương trình ...

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a,b,c

Dựa vào vị trí tương đối giữa hai đường thẳng dưới đây, hãy tìm mối liên hệ giữa các hằng số \(a, b, c\) và các hằng số \(a’, b’, c’\) để hệ phương trình

\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr 
{a'x + b'y = c'} \cr} } \right.\)

\(a)\) Có nghiệm duy nhất

\(b)\) Vô nghiệm

\(c)\) Có vô số nghiệm

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Với hai đường thẳng \((d):y=ax+b \) và  \((d'): y=a'x+b' \) trong đó \(a\) và \(a'\) khác \(0\). Ta so sánh các hệ số \(a,\ a'\); \(b,\ b'\).

+) Nếu \(a \ne a'\) thì \(d\) cắt \(d' \Rightarrow \)  hệ đã cho có một nghiệm duy nhất.

+) Nếu \(a=a',\ b \ne b'\) thì \(d\) song song với \(d' \Rightarrow \)  hệ đã cho vô nghiệm.

+) Nếu \(a=a',\ b=b'\) thì \(d\) trùng với \(d' \Rightarrow \) hệ đã cho có vô số nghiệm. 

Lời giải chi tiết:

Ta chia ra các trường hợp:

\(1.\) Trường hợp \(a, b, a’, b’\) đều khác \(0 \)

\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr 
{a'x + b'y = c'} \cr}  } \right.\)

\( \Leftrightarrow  \left\{ {\matrix{
{y = - \displaystyle{a \over b}x + {c \over b}}(d)\cr 
{y = - \displaystyle{{a'} \over {b'}}x + {{c'} \over {b'}}} (d') \cr}} \right.\)

\(a)\) Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi hai đường thẳng \((d)\) và \((d')\) cắt nhau tức là hai đường thẳng này có hệ số góc khác nhau. Do đó   \(\displaystyle{a \over b} \ne {{a'} \over {b'}} \) hay \(\displaystyle{a \over {a'}} \ne {b \over {b'}}\)

\(b)\) Hệ phương trình đã cho vô nghiệm khi hai đường thẳng \((d)\) và \((d')\) song song. Tức là hai đường thẳng này có hệ số góc bằng nhau và tung độ gốc khác nhau. Do đó:

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{a \over b} = {{a'} \over {b'}}} \cr 
\displaystyle{{c \over b} \ne {{c'} \over {b'}}} \cr}}\right.\) hay \( \displaystyle{a \over {a'}} = {b \over {b'}} \ne {c \over {c'}}\) (nếu \(c’ \ne 0\)) hoặc \(\displaystyle{a' \over {a}} = {b' \over {b}} \ne {c' \over {c}}\) (nếu \(c \ne 0\))

\(c)\) Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm khi hai đường thẳng \((d)\) và \((d')\) trùng nhau tức là hai đường thẳng này có cùng hệ số góc và tung độ gốc. Do đó

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{a \over b} = {{a'} \over {b'}}} \cr 
\displaystyle{{c \over b} = {{c'} \over {b'}}} \cr}} \right.\) hay \( \displaystyle {a \over {a'}} = {b \over {b'}} = {c \over {c'}}\) (nếu \(c’ \ne 0\)) hoặc \(\displaystyle{a' \over {a}} = {b' \over {b}} = {c' \over {c}}\) (nếu \(c \ne 0\))

\(2.\) Trường hợp \(a = 0\) và \(a’ \ne 0\)

\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr 
{a'x + b'y = c'} \cr}  } \right.\)

\( \Leftrightarrow  \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle{c \over b}} \cr 
{y = \displaystyle - {{a'} \over b'}x + {{c'} \over {b'}}}   \cr} } \right. \text{(nếu } b’ \ne 0)\)

Hoặc 

\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr 
{a'x + b'y = c'} \cr}  } \right.\)

\( \Leftrightarrow  \left\{ {\matrix{
{y =\displaystyle {c \over b}} \cr 
{x = \displaystyle{{c'} \over {a'}}} \cr} } \right. \text{(nếu } b’ = 0)\)

Vì đường thẳng \(y =\displaystyle {c \over b}\) song song hoặc trùng với trục \(Ox\), còn đường thẳng \(y = \displaystyle  - {{a'} \over {b'}}x + {{c'} \over {b'}}\) và đường thẳng \(x = \displaystyle {{c'} \over {a'}}\) luôn luôn cắt trục hoành nên đường thẳng \(y =\displaystyle {c \over b}\) luôn luôn cắt hai đường thẳng \(y = \displaystyle  - {{a'} \over {b'}}x + {{c'} \over {b'}}\) và  \(x = \displaystyle {{c'} \over {a'}}\) . Do đó hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Tương tự trường hợp \(a \ne 0\) và \(a' = 0\) , hệ phương trình đã cho cũng có nghiệm duy nhất.

\(3.\) Trường hợp \(a = a’ = 0\) 

\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr 
{a'x + b'y = c'} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y =\displaystyle  {c \over b}} \cr 
{y =\displaystyle  {{c'} \over {b'}}} \cr} } \right.} \right.\)

Hệ đã cho vô nghiệm khi \(\displaystyle {c \over b} \ne {{c'} \over {b'}}\)

Hệ đã cho có vô số nghiệm khi \(\displaystyle {c \over b} = {{c'} \over {b'}}\)

\(4.\) Trường hợp \(b = 0 ; b’≠ 0\)

\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr 
{a'x + b'y = c'} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = \displaystyle {c \over a}} \cr 
{y = \displaystyle - {{a'} \over {b'}}x + {{c'} \over {b'}}} \cr} } \right.} \right.\)

Vì đường thẳng \(x = \displaystyle {c \over a}\) song song hoặc trùng với trục \(Oy\), còn đường thẳng \(y = \displaystyle  - {{a'} \over {b'}}x + {{c'} \over {b'}}\) luôn cắt trục \(Oy\) nên hai đường thẳng này luôn luôn cắt nhau. Do đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất.

Tương tự trường hợp \(b \ne 0\) và \(b' = 0\) , hệ phương trình đã cho cũng có nghiệm duy nhất.

\(5.\) Trường hợp \(b = b’ = 0\)

\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr 
{a'x + b'y = c'} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = \displaystyle {c \over a}} \cr 
{x = \displaystyle  {{c'} \over {a'}}} \cr} } \right.} \right.\)

Hệ vô nghiệm khi hai đường thẳng đó song song: \(\displaystyle {c \over a} \ne {{c'} \over {a'}}\)

Hệ có vô số nghiệm khi hai đường thẳng đó trùng nhau: \(\displaystyle {c \over a} = {{c'} \over {a'}}\) 

Áp dụng

Áp dụng:

\(a)\) Hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất

\(b)\) Hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm

\(c)\) Hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm

Phương pháp giải:

Áp dụng kết quả các ý trước.

Lời giải chi tiết:

\(a)\) Hệ phương trình \(\left\{ {\matrix{
{2x + 3y = 1} \cr 
{3x - y = 3} \cr} } \right.\) có một nghiệm duy nhất vì \(\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\left( {\dfrac{2}{3} \ne \dfrac{3}{{ - 1}}} \right)\)

\(b)\) Hệ phương trình 

\(\left\{ {\matrix{
{2x + 3y = 1} \cr 
{4x + 6y = 5} \cr} } \right.\) vô nghiệm vì \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\left( {\dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{6} \ne \dfrac{1}{5}} \right)\)

\(c)\) Hệ phương trình \(\left\{ {\matrix{
{2x + 3y = 1} \cr 
{4x + 6y = 2} \cr} } \right.\)  có vô số nghiệm vì  \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}\left( {\dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}} \right)\)

Loigiaihay.com

  • Bài 12 trang 8 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 12 trang 8 sách bài tập toán 9. Minh họa hình học tập nghiệm của mỗi hệ phương trình sau: a)2x+3y=7 và x-y=6; b) 3x+2y=13 và 2x-y= -3; c)x+y=1 và 3x+0y=12; ...

  • Bài 13 trang 8 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 13 trang 8 sách bài tập toán 9. Cho hệ phương trình x+0y=-2 và 5x-y=-9. a) Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình đã cho. Từ đó xác định nghiệm của hệ; ...

  • Bài 14 trang 8 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 14 trang 8 sách bài tập toán 9. Vẽ hai đường thẳng(d_1):x + y = 2 và(d_2):2x + 3y = 0. Hỏi đường thẳng (d_3):3x + 2y = 10 có đi qua giao điểm của (d_1) và(d_2) hay không?

  • Bài 15 trang 8 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 15 trang 8 sách bài tập toán 9. Hỏi bốn đường thẳng sau có đồng quy không:(d_1):3x+2y=13;(d_2):2x+3y=7; (d_3):x-y=6; (d_4):5x-0y=25?

  • Bài 2.1, 2.2 phần bài tập bổ sung trang 8 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 2.1, 2.2 phần bài tập bổ sung trang 8 sách bài tập toán 9. Không vẽ đồ thị, hãy giải thích vì sao các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất. a)3x=6 và x-3y=2; b) 3x+5y=15 và 2y=-7 ...

Quảng cáo

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

close