Giải bài 10 trang 80 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Cho các điểm \(A,B,C\) có toạ độ thoả mãn \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow i + \overrightarrow j + \overrightarrow k ,\overrightarrow {OB} = 5\overrightarrow i + \overrightarrow j - \overrightarrow k ,\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow i + 8\overrightarrow j + 3\overrightarrow k \). Tìm toạ độ điểm \(D\) để tứ giác \(ABC{\rm{D}}\) là hình bình hành.

Quảng cáo

Đề bài

Cho các điểm \(A,B,C\) có toạ độ thoả mãn \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow i  + \overrightarrow j  + \overrightarrow k ,\overrightarrow {OB}  = 5\overrightarrow i  + \overrightarrow j  - \overrightarrow k ,\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow i  + 8\overrightarrow j  + 3\overrightarrow k \). Tìm toạ độ điểm \(D\) để tứ giác \(ABC{\rm{D}}\) là hình bình hành.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)\).

‒ Sử dụng tính chất hai vectơ bằng nhau: Với \(\overrightarrow u  = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v  = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\), ta có: \(\overrightarrow u  = \overrightarrow v  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow i  + \overrightarrow j  + \overrightarrow k  \Rightarrow \overrightarrow {OA}  = \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow A\left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {OB}  = 5\overrightarrow i  + \overrightarrow j  - \overrightarrow k  \Rightarrow \overrightarrow {OB}  = \left( {5;1; - 1} \right) \Rightarrow B\left( {5;1; - 1} \right)\\\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow i  + 8\overrightarrow j  + 3\overrightarrow k  \Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( {2;8;3} \right)\end{array}\)

Giả sử \(D\left( {x;y;z} \right)\). Ta có:

\(\overrightarrow {AD}  = \left( {x - 1;y - 1;z - 1} \right)\).

\(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 2\\y - 1 = 8\\z - 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 9\\z = 4\end{array} \right.\). Vậy \(D\left( {3;9;4} \right)\).

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

close