Giải bài 14 trang 80 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho ba điểm \(A\left( {2; - 1;3} \right),B\left( {4;0;1} \right)\) và \(C\left( { - 10;5;3} \right)\). Đường phân giác trong của góc \(B\) của tam giác \(ABC\) cắt \(BC\) tại \({\rm{D}}\). Tính \(BD\).

Lời giải chi tiết

\(BA = \sqrt {{{\left( {2 - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}}  = 3;BC = \sqrt {{{\left( { - 10 - 4} \right)}^2} + {{\left( {5 - 0} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}}  = 15\)

Gọi \({\rm{D}}\left( {x;y;z} \right)\) là chân đường phân giác trong góc \(B\). Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{3}{{15}} = \frac{1}{5} \Rightarrow \overrightarrow {DA}  =  - \frac{1}{5}\overrightarrow {DC} \\\overrightarrow {DA}  = \left( {2 - x; - 1 - y;3 - z} \right);\overrightarrow {DC}  = \left( { - 10 - x;5 - y;3 - z} \right)\\\overrightarrow {DA}  =  - \frac{1}{5}\overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x =  - \frac{1}{5}\left( { - 10 - x} \right)\\ - 1 - y =  - \frac{1}{5}\left( {5 - y} \right)\\3 - z =  - \frac{1}{5}\left( {3 - z} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(D\left( {0;0;3} \right),BD = \sqrt {{{\left( {0 - 4} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5 \)