Giải bài 15 trang 81 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho ba điểm \(A\left( {1;1;1} \right),B\left( { - 1;1;0} \right)\) và \(C\left( {3;1; - 1} \right)\). Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) và cách đều ba điểm \(A,B,C\). Tính tổng \(a + b + c\).

Lời giải chi tiết

Vì \(M\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) nên \(y = 0\).

\(\begin{array}{l}AM = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 1} \right)}^2} + {{\left( {z - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {z - 1} \right)}^2} + 1} \\BM = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 1} \right)}^2} + {{\left( {z - 0} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {z^2} + 1} \\CM = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {0 - 1} \right)}^2} + {{\left( {z + 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {z + 1} \right)}^2} + 1} \end{array}\)

\(M\) cách đều ba điểm \(A,B,C\) nên \(AM = BM = CM\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AM = BM\\BM = CM\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {z - 1} \right)}^2} + 1}  = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {z^2} + 1} \\\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {z^2} + 1}  = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {z + 1} \right)}^2} + 1} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2} + {z^2} + 1\\{\left( {x + 1} \right)^2} + {z^2} + 1 = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4x - 2{\rm{z}} =  - 1\\8{\rm{x}} - 2{\rm{z}} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{6}\\z =  - \frac{7}{6}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(M\left( {\frac{5}{6};0; - \frac{7}{6}} \right)\).