Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11 - Kết nối tri thức

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức - Đề số 6

Tải về

Làm đề thi

Phần trắc nghiệm

Đề bài

Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 :

Hàm số nào sau đây có tập xác định $\mathbb{R}$ ?

A

$y = \tan x$
B

$y = \cot x$
C

$y = \frac{1}{{{{\sin }^2}x + 1}}$
D

$y = \frac{1}{{\cot x}}$

Câu 2 :

Tổng các nghiệm của phương trình $\tan (2x - {15^o}) = 1$ trên khoảng $( - {90^o};{90^o})$ bằng

A

${30^o}$
B

$- {60^o}$
C

${0^o}$
D

$- {30^o}$

Câu 3 :

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right) = {2024^n}$ . Tính ${u_{n + 1}}$ ?

A

${u_{n + 1}} = {2024^n} + 2024$
B

${u_{n + 1}} = {2024^n} + 1$
C

${u_{n + 1}} = {2024^{n + 1}}$
D

${u_{n + 1}} = 2024(n + 1)$

Quảng cáo

Câu 4 :

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 3$ và công sai d = -5. Khi đó –32 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng đã cho?

A

7
B

10
C

9
D

8

Câu 5 :

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 1$ , công bội q = 2. Tổng ba số hạng đầu của cấp số nhân là

A

3
B

7
C

9
D

5

Câu 6 :

Phát biểu nào sau đây là sai?

A

$\lim {u_n} = c$ ( ${u_n} = c$ là hằng số)
B

$\lim {q^n} = 0$ $\left( {\left| q \right| > 1} \right)$
C

$\lim \frac{1}{n} = 0$
D

$\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0$ $(k > 1)$

Câu 7 :

Hàm số $y = \frac{1}{{2x - 4}}$ gián đoạn tại điểm nào dưới đây?

A

x = 1
B

x = 0
C

x = 2
D

x = -1

Câu 8 :

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A

Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa
B

Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất
C

Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất
D

Hai mặt phẳng cùng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thì hai mặt phẳng đó trùng nhau

Câu 9 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Khẳng định nào sau đây đúng?

A

MN//(ABCD)
B

AB//(SCD)
C

BC//(SAD)
D

MN//(SBD)

Câu 10 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi E là trung điểm của SA. Mặt phẳng nào dưới đây chứa đường thẳng OE?

A

(SBC)
B

(ABCD)
C

(SAC)
D

(CDE)

Câu 11 :

Điều tra về chiều cao của học sinh khối lớp 11, ta có kết quả sau:

Giá trị đại diện của nhóm thứ tư là

A

156,5
B

157
C

157,5
D

158

Câu 12 :

Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là

A

[40;60)
B

[20;40)
C

[60;80)
D

[80;100)

Phần II: Câu trắc nghiệm đúng sai.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 :

Cho phương trình ${\cos ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = 1$ .

a) Phương trình đã cho được viết lại như sau: ${\sin ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ .

Đúng

Sai

b) Ta có $\cos (2x + \pi ) = - \cos 2x$ .

Đúng

Sai

c) Phương trình đã cho đưa về dạng $\cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos 2x$ .

Đúng

Sai

d) Nghiệm của phương trình đã cho là $x = - \frac{\pi }{4} + k\pi$ và $x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}$ $(k \in \mathbb{Z})$ .

Đúng

Sai

Câu 2 :

Biết $\lim \frac{{2{n^2} - n + 4}}{{a{n^2} + n + 3}} = 2$ và $\lim \frac{{{3^n} + {4^{n + 1}}}}{{{4^n} + 3}} = b$ .

a) Giá trị của a = 2.

Đúng

Sai

b) Giá trị của b = 4.

Đúng

Sai

c) a; 2; b lập thành một cấp số cộng.

Đúng

Sai

d) a; b; 16 lập thành một cấp số nhân.

Đúng

Sai

Quảng cáo

Câu 3 :

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy P sao cho BP = 2PD.

a) Gọi $I = CD \cap (MNP)$ . Ba điểm I, N, P thẳng hàng.

Đúng

Sai

b) MN//(ABD).

Đúng

Sai

c) Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD) là đường thẳng PQ song song với AB, với Q thuộc AD.

Đúng

Sai

d) Tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Đúng

Sai

Câu 4 :

Trong một đề tài nghiên cứu về bệnh A, người ta ghi lại tuổi của bệnh nhân mắc bệnh này, số liệu thống kê được trình bày trong bảng sau:

a) Cỡ mẫu là n = 50.

Đúng

Sai

b) Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là [55;65).

Đúng

Sai

c) Trung vị của mẫu số liệu thuộc nhóm [25;35).

Đúng

Sai

d) Trung vị của mẫu số liệu gần bằng 37,14.

Đúng

Sai

Phần III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1 :

Hằng ngày mức nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mức nước trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày (t > 0) bởi công thức $h = 4\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{{5\pi }}{8}} \right) + 16$ . Mực nước của kênh cao nhất khi t bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Câu 2 :

Một rạp hát có 18 hàng ghế xếp theo hình quạt. Hàng thứ nhất có 16 ghế, hàng thứ hai có 20 ghế, hàng thứ ba có 24 ghế,... cứ thế cho đến hàng cuối cùng. Hỏi tổng số ghế có trong rạp là bao nhiêu?

Đáp án:

Quảng cáo

Câu 3 :

Tính giới hạn $\lim \left[ {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} + ... + \frac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}}} \right]$ . Viết kết quả dưới dạng số thập phân.

Đáp án:

Câu 4 :

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt[3]{{x + 7}} - \sqrt {3x + 1} }}{{x - 1}}\\ax\end{array} \right.$ $\begin{array}{l}khi\\khi\end{array}$ $\begin{array}{l}x \ne 1\\x = 1\end{array}$ . Tìm giá trị của a để hàm số liên tục tại ${x_0} = 1$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án:

Câu 5 :

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm của AC và BD, AC = 6, BD = 8; tam giác SBD là tam giác đều. Gọi I là điểm nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AI = x (0 < x < 3), (P) là mặt phẳng đi qua điểm I và song song với mặt phẳng (SBD). Diện tích của hình tạo bởi các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình chóp S.ABCD bằng $\frac{{a{x^2}\sqrt 3 }}{b}$ . Tính giá trị của biểu thức P = a + b.

Đáp án:

Câu 6 :

Phỏng vấn một số học sinh khối 11 về thời gian (giờ) ngủ của một buổi tối, thu được bảng số liệu sau:

Hãy cho biết 75% học sinh khối 11 ngủ nhiều nhất bao nhiêu giờ?

Đáp án:

Lời giải và đáp án

Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 :

Hàm số nào sau đây có tập xác định $\mathbb{R}$ ?

A

$y = \tan x$
B

$y = \cot x$
C

$y = \frac{1}{{{{\sin }^2}x + 1}}$
D

$y = \frac{1}{{\cot x}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tìm tập xác định của từng hàm số.

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = \tan x$ xác định $\forall x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ .

Hàm số $y = \cot x$ xác định $\forall x \ne k\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ .

Hàm số $y = \frac{1}{{\cot x}}$ xác định $\forall x \ne \frac{{k\pi }}{2}$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ .

Hàm số $y = \frac{1}{{{{\sin }^2}x + 1}}$ xác định với mọi giá trị của x.

Câu 2 :

Tổng các nghiệm của phương trình $\tan (2x - {15^o}) = 1$ trên khoảng $( - {90^o};{90^o})$ bằng

A

${30^o}$
B

$- {60^o}$
C

${0^o}$
D

$- {30^o}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

$\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$ .

Lời giải chi tiết :

$\tan (2x - {15^o}) = 1 \Leftrightarrow 2x - {15^o} = {45^o} + k{180^o} \Leftrightarrow x = {30^o} + k{90^o}$ $(k \in \mathbb{Z})$ .

Xét $- {90^o} < x < {90^o} \Leftrightarrow - {90^o} < {30^o} + k{90^o} < {90^o} \Leftrightarrow - \frac{4}{3} < k < \frac{2}{3}$ .

Suy ra k = -1 hoặc k = 0.

Với k = -1, ta được $x = - {60^o}$ .

Với k = 0, ta được $x = {30^o}$ .

Vậy tổng các nghiệm là $- {60^o} + {30^o} = - {30^o}$ .

Câu 3 :

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right) = {2024^n}$ . Tính ${u_{n + 1}}$ ?

A

${u_{n + 1}} = {2024^n} + 2024$
B

${u_{n + 1}} = {2024^n} + 1$
C

${u_{n + 1}} = {2024^{n + 1}}$
D

${u_{n + 1}} = 2024(n + 1)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Thay n + 1 vào n.

Lời giải chi tiết :

Ta có ${u_{n + 1}} = {2024^{n + 1}}$ .

Câu 4 :

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 3$ và công sai d = -5. Khi đó –32 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng đã cho?

A

7
B

10
C

9
D

8

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Công thức số hạng tổng quát: ${u_n} = {u_1} + (n - 1)d$ .

Lời giải chi tiết :

-32 là số hạng thứ n của cấp số cộng. Ta có $32 = 3 + (n - 1)( - 5) \Leftrightarrow n = 8$ .

Câu 5 :

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 1$ , công bội q = 2. Tổng ba số hạng đầu của cấp số nhân là

A

3
B

7
C

9
D

5

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Công thức tổng n số hạng đầu của cấp số nhân: ${S_n} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}$ .

Lời giải chi tiết :

Áp dụng công thức tổng số hạng của cấp số nhân ta có: ${S_3} = 1.\frac{{1 - {2^3}}}{{1 - 2}} = 7$ .

Câu 6 :

Phát biểu nào sau đây là sai?

A

$\lim {u_n} = c$ ( ${u_n} = c$ là hằng số)
B

$\lim {q^n} = 0$ $\left( {\left| q \right| > 1} \right)$
C

$\lim \frac{1}{n} = 0$
D

$\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0$ $(k > 1)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\lim {q^n} = 0$ $\left( {\left| q \right| < 1} \right)$ nên B sai.

Câu 7 :

Hàm số $y = \frac{1}{{2x - 4}}$ gián đoạn tại điểm nào dưới đây?

A

x = 1
B

x = 0
C

x = 2
D

x = -1

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tìm điểm mà tại đó hàm số không xác định

Lời giải chi tiết :

Hàm số có tập xác định là $D = \mathbb{R}\backslash \{ 2\}$ , suy ra hàm số gián đoạn tại x = 2.

Câu 8 :

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A

Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa
B

Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất
C

Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất
D

Hai mặt phẳng cùng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thì hai mặt phẳng đó trùng nhau

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

B sai vì hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có thể trùng nhau. Khi đó chúng có vô số điểm chung và chung nhau vô số đường thẳng.

Câu 9 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Khẳng định nào sau đây đúng?

A

MN//(ABCD)
B

AB//(SCD)
C

BC//(SAD)
D

MN//(SBD)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đường thẳng song song với mặt phẳng nếu nó song song với một đường thuộc mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Vì MN là đường trung bình của tam giác SAC nên MN//AC.

Mà AC thuộc mặt phẳng (ABCD) suy ra MN//(ABCD).

Câu 10 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi E là trung điểm của SA. Mặt phẳng nào dưới đây chứa đường thẳng OE?

A

(SBC)
B

(ABCD)
C

(SAC)
D

(CDE)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Mặt phẳng cần tìm chứa cả hai điểm O và E.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}O \in AC\\E \in SA\end{array} \right.$ nên $OE \subset (SAC)$ .

Câu 11 :

Điều tra về chiều cao của học sinh khối lớp 11, ta có kết quả sau:

Giá trị đại diện của nhóm thứ tư là

A

156,5
B

157
C

157,5
D

158

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Giá trị đại diện của nhóm là trung bình cộng của đầu mút trái và đầu mút phải nhóm đó.

Lời giải chi tiết :

Giá trị đại diện của nhóm thứ tư là $\frac{{156 + 158}}{2} = 157$ .

Câu 12 :

Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là

A

[40;60)
B

[20;40)
C

[60;80)
D

[80;100)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Nhóm chứa trung vị là nhóm chứa giá trị chính giữa của mẫu số liệu.

Lời giải chi tiết :

Cỡ mẫu: n = 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42.

Trung vị của mẫu số liệu trên là ${Q_2} = \frac{{{x_{21}} + {x_{22}}}}{2}$ .

Mà ${x_{21}}$ , ${x_{22}}$ $\in [40;60)$ .

Vậy nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là [40;60).

Phần II: Câu trắc nghiệm đúng sai.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 :

Cho phương trình ${\cos ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = 1$ .

a) Phương trình đã cho được viết lại như sau: ${\sin ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ .

Đúng

Sai

b) Ta có $\cos (2x + \pi ) = - \cos 2x$ .

Đúng

Sai

c) Phương trình đã cho đưa về dạng $\cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos 2x$ .

Đúng

Sai

d) Nghiệm của phương trình đã cho là $x = - \frac{\pi }{4} + k\pi$ và $x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}$ $(k \in \mathbb{Z})$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Phương trình đã cho được viết lại như sau: ${\sin ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ .

Đúng

Sai

b) Ta có $\cos (2x + \pi ) = - \cos 2x$ .

Đúng

Sai

c) Phương trình đã cho đưa về dạng $\cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos 2x$ .

Đúng

Sai

d) Nghiệm của phương trình đã cho là $x = - \frac{\pi }{4} + k\pi$ và $x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}$ $(k \in \mathbb{Z})$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

a) Sử dụng công thức ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ .

b) Sử dụng công thức $\cos (x + \pi ) = - \cos x$ .

c) Sử dụng công thức hạ bậc ${\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}$ , ${\cos ^2}x = \frac{{\cos 2x + 1}}{2}$ .

d) Sử dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản:

$\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.$ $(k \in \mathbb{Z})$ .

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Ta có: ${\cos ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = 1$

$\Leftrightarrow {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = 1 - {\cos ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)$

$\Leftrightarrow {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = {\sin ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)$ .

b) Đúng. $\cos (2x + \pi ) = - \cos 2x$ .

c) Đúng. Ta có: ${\cos ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = 1$

$\Leftrightarrow {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = {\sin ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)$

$\Leftrightarrow \frac{{\cos \left( {2x + \pi } \right) + 1}}{2} = \frac{{1 - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)}}{2}$

$\Leftrightarrow \cos \left( {2x + \pi } \right) = - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)$

$\Leftrightarrow - \cos 2x = - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)$

$\Leftrightarrow \cos 2x = \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)$ .

d) Sai. Ta có: ${\cos ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = 1 \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 4x + \frac{\pi }{2} + k2\pi \\2x = - 4x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 4x + \frac{\pi }{2} + k2\pi \\2x = - 4x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\6x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.$ $(k \in \mathbb{Z})$ .

Câu 2 :

Biết $\lim \frac{{2{n^2} - n + 4}}{{a{n^2} + n + 3}} = 2$ và $\lim \frac{{{3^n} + {4^{n + 1}}}}{{{4^n} + 3}} = b$ .

a) Giá trị của a = 2.

Đúng

Sai

b) Giá trị của b = 4.

Đúng

Sai

c) a; 2; b lập thành một cấp số cộng.

Đúng

Sai

d) a; b; 16 lập thành một cấp số nhân.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Giá trị của a = 2.

Đúng

Sai

b) Giá trị của b = 4.

Đúng

Sai

c) a; 2; b lập thành một cấp số cộng.

Đúng

Sai

d) a; b; 16 lập thành một cấp số nhân.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Sử dụng các quy tắc tìm giới hạn của dãy số.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. Ta có: $\lim \frac{{2{n^2} - n + 4}}{{a{n^2} + n + 3}} = \lim \frac{{{n^2}\left( {2 - \frac{1}{n} + \frac{4}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {a + \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} \right)}} = \lim \frac{{2 - \frac{1}{n} + \frac{4}{{{n^2}}}}}{{a + \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}}} = \frac{2}{a} = 2$ .

Suy ra a = 1.

b) Đúng. Ta có: $\lim \frac{{{3^n} + {4^{n + 1}}}}{{{4^n} + 3}} = \lim \frac{{{3^n} + {4^n}.4}}{{{4^n} + 3}} = \lim \frac{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} + 4}}{{1 + 3.{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}} = \frac{{0 + 4}}{{1 + 0}} = 4 = b$ .

c) Sai. 1; 2; 4 không lập thành một cấp số cộng.

d) Đúng. 1; 4; 16 lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu là 1, công bội bằng 4.

Câu 3 :

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy P sao cho BP = 2PD.

a) Gọi $I = CD \cap (MNP)$ . Ba điểm I, N, P thẳng hàng.

Đúng

Sai

b) MN//(ABD).

Đúng

Sai

c) Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD) là đường thẳng PQ song song với AB, với Q thuộc AD.

Đúng

Sai

d) Tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Gọi $I = CD \cap (MNP)$ . Ba điểm I, N, P thẳng hàng.

Đúng

Sai

b) MN//(ABD).

Đúng

Sai

c) Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD) là đường thẳng PQ song song với AB, với Q thuộc AD.

Đúng

Sai

d) Tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Sử dụng các điều kiện, tính chất của đường thẳng và mặt phẳng song song.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. Xét trong mặt phẳng (BCD):

Vì NP không song song với CD nên giả sử NP giao CD tại O.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}O \in CD\\O \in NP \subset (MNP)\end{array} \right.$ nên $O = CD \cap (MNP)$ .

Vậy $O \equiv I$ . Vì $O \in NP$ suy ra I, N, P thẳng hàng.

b) Đúng. Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//AB.

c) Đúng. Ta có $\left\{ \begin{array}{l}MN//AB\\MN \subset (MNP)\\AB \subset (ABD)\\(MNP) \cap (ABD) = \{ P\} \end{array} \right.$ suy ra giao tuyến của (MNP) và (ABD) là đường thẳng qua P và song song với AB, MN.

Theo giả thiết, PQ//AB nên PQ chính là giao tuyến cần tìm.

d) Sai. Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên $MN = \frac{1}{2}AB$ (1).

Theo giả thiết, BP = 2PD nên suy ra $\frac{{DP}}{{DB}} = \frac{1}{3}$ .

Xét tam giác ABD có PQ//AB:

$\frac{{DQ}}{{DA}} = \frac{{DP}}{{DB}} = \frac{{PQ}}{{AB}} = \frac{1}{3}$ (hệ quả định lý Thales).

Suy ra $PQ = \frac{1}{3}AB$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $MN \ne PQ$ .

Vậy MNPQ không phải hình bình hành.

Câu 4 :

Trong một đề tài nghiên cứu về bệnh A, người ta ghi lại tuổi của bệnh nhân mắc bệnh này, số liệu thống kê được trình bày trong bảng sau:

a) Cỡ mẫu là n = 50.

Đúng

Sai

b) Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là [55;65).

Đúng

Sai

c) Trung vị của mẫu số liệu thuộc nhóm [25;35).

Đúng

Sai

d) Trung vị của mẫu số liệu gần bằng 37,14.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Cỡ mẫu là n = 50.

Đúng

Sai

b) Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là [55;65).

Đúng

Sai

c) Trung vị của mẫu số liệu thuộc nhóm [25;35).

Đúng

Sai

d) Trung vị của mẫu số liệu gần bằng 37,14.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

a) Cỡ mẫu bằng tổng tần số trong bảng số liệu.

b) Nhóm chứa mốt có tần số lớn nhất trong bảng số liệu.

c) Trung vị là giá trị chính giữa trong các giá trị sắp xếp theo thứ tự không giảm.

d) Công thức tính trung vị: ${M_e} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.({u_{m + 1}} - {u_m})$ .

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. n = 10 + 12 + 14 + 9 + 5 = 50.

b) Sai. Nhóm chứa mốt là [35;45).

c) Sai. Ta có $\frac{n}{2} = 25$ nên trung vị là ${M_e} = \frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2} \in [35;45)$ .

d) Đúng. ${M_e} = 35 + \frac{{\frac{{50}}{2} - (10 + 12)}}{{14}}.(45 - 35) = \frac{{260}}{7} \approx 37,14$ .

Phần III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1 :

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

$h = 4\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{{5\pi }}{8}} \right) + 16$ lớn nhất khi $\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{{5\pi }}{8}} \right) = 1$ .

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản:

$\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.$ $(k \in \mathbb{Z})$ .

Lời giải chi tiết :

$\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{{5\pi }}{8}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{8} + \frac{{5\pi }}{8} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{8} = - \frac{\pi }{8} + k2\pi$

$\Leftrightarrow \frac{t}{8} = - \frac{1}{8} + 2k \Leftrightarrow t = - 1 + 16k$ $(k \in \mathbb{Z})$ .

Ta có $0 < t \le 24 \Leftrightarrow 0 < - 1 + 16k \le 24 \Leftrightarrow 1 < 16k \le 24 \Leftrightarrow \frac{1}{{16}} < k \le \frac{3}{2}$ .

Vậy k = 1. Khi đó t = -1 + 16.1 = 15.

Vậy mực nước của kênh cao nhất khi t = 15 (giờ).

Câu 2 :

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: ${S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2}$ .

Lời giải chi tiết :

Số ghế mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với ${u_1} = 16$ và d = 4.

Tổng số ghế trong rạp là ${S_{18}} = \frac{{18\left[ {2.16 + (18 - 1).4} \right]}}{2} = 900$ .

Câu 3 :

Tính giới hạn $\lim \left[ {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} + ... + \frac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}}} \right]$ . Viết kết quả dưới dạng số thập phân.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc tính giới hạn tại vô cực.

Lời giải chi tiết :

$\lim \left[ {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} + ... + \frac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}}} \right]$

$= \lim \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{{2n - 1}} + \frac{1}{{2n + 1}}} \right)$

$= \lim \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{2n + 1}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 - 0} \right) = \frac{1}{2} = 0,5$ .

Câu 4 :

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Hàm số liên tục tại ${x_0}$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\frac{{\sqrt[3]{{x + 7}} - \sqrt {3x + 1} }}{{x - 1}} = \frac{{\sqrt[3]{{x + 7}} - 2 + 2 - \sqrt {3x + 1} }}{{x - 1}} = \frac{{\sqrt[3]{{x + 7}} - 2}}{{x - 1}} + \frac{{2 - \sqrt {3x + 1} }}{{x - 1}}$

$= \frac{{x + 7 - 8}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 7} + \sqrt[2]{{x + 7}}.2 + 4} \right)}} + \frac{{4 - \left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 + \sqrt {3x + 1} } \right)}}$

$= \frac{1}{{\sqrt {x + 7} + \sqrt[2]{{x + 7}}.2 + 4}} + \frac{{3 - 3x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 + \sqrt {3x + 1} } \right)}}$

$= \frac{1}{{\sqrt {x + 7} + \sqrt[2]{{x + 7}}.2 + 4}} - \frac{3}{{2 + \sqrt {3x + 1} }}$ .

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{x + 7}} - \sqrt {3x + 1} }}{{x - 1}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 7} + \sqrt[2]{{x + 7}}.2 + 4}} - \frac{3}{{2 + \sqrt {3x + 1} }}$

$= \frac{1}{{\sqrt {1 + 7} + \sqrt[2]{{1 + 7}}.2 + 4}} - \frac{3}{{2 + \sqrt {3.1 + 1} }} \approx - 0,7$ .

Mà $f(1) = a.1 = a$ .

Để hàm số liên tục tại ${x_0} = 1$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1)$ , suy ra $a \approx - 0,7$ .

Câu 5 :

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất giao tuyến, hệ quả định lí Thales, công thức tính diện tích tam giác đều khi biết độ dài cạnh.

Lời giải chi tiết :

Vì (P)//(SBD) suy ra BD//(P) và SB//(P).

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}I \in (P) \cap (ABCD)\\BD \subset (ABCD)\\BD//(P)\end{array} \right.$ suy ra giao tuyến của (P) và (ABCD) là đường thẳng qua I song song với BD. Giao tuyến này cắt AB tại M, cắt AD tại N.

Tương tự $\left\{ \begin{array}{l}M \in (P) \cap (SAB)\\SB \subset (SAB)\\SB//(P)\end{array} \right.$ suy ra giao tuyến của (P) và (SAB) là đường thẳng qua M song song với SB.

Giao tuyến này cắt SA tại K.

Thiết diện cần tìm là tam giác MNK.

Hai tam giác KMN và SBD có các cặp cạnh tương ứng song song nên chúng đồng dạng. Mà tam giác SBD đều nên tam giác KMN đều.

Xét tam giác AOD có IN//DO: $\frac{{AI}}{{AO}} = \frac{{IN}}{{DO}}$ (hệ quả định lí Thales).

Xét tam giác AOB có IM//BO: $\frac{{AI}}{{AO}} = \frac{{IM}}{{BO}}$ (hệ quả định lí Thales).

Suy ra $\frac{{IN}}{{DO}} = \frac{{IM}}{{BO}}$ . Do đó $\frac{{AI}}{{AO}} = \frac{{IN + IM}}{{DO + BO}}$ hay $\frac{{AI}}{{AO}} = \frac{{MN}}{{BD}} \Leftrightarrow \frac{x}{{\frac{{AC}}{2}}} = \frac{{MN}}{{BD}}$

$\Leftrightarrow \frac{x}{3} = \frac{{MN}}{8} \Leftrightarrow MN = \frac{{8x}}{3}$ .

Diện tích tam giác đều KMN là $S = \frac{{M{N^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{\left( {\frac{{8x}}{3}} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{16{x^2}\sqrt 3 }}{9}$ .