Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11 - Kết nối tri thức

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức - Đề số 1

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Tải về

Tải về đề thi và đáp án Tải về đề thi Tải về đáp án
Làm đề thi

Phần trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1: Nếu một cung tròn có số đo là 20 độ thì số đo radian của nó là

Đề bài

I. Trắc nghiệm
Câu 1 :

Nếu một cung tròn có số đo là 20 độ thì số đo radian của nó là:

  • A
    \(\frac{\pi }{{10}}\).
  • B
    \(\frac{\pi }{9}\).    
  • C
    \(\frac{\pi }{8}\).
  • D
    \(\frac{\pi }{{11}}\).
Câu 2 :

Chọn đáp án đúng

  • A
    \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\).
  • B
    \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\sin b - \sin a\cos b\).    
  • C
    \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\).
  • D
    \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\sin b + \sin a\cos b\).
Câu 3 :

Nghiệm của phương trình \(\sin x = \sin \frac{\pi }{3}\) là:

  • A
    \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
  • B
    \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).    
  • C
    \(x =  \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
  • D
    \(x =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Câu 4 :

Tập xác định của D của hàm số \(y = \cot x\) là:

  • A
    \(D = \mathbb{R}\).
  • B
    \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2}\left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).    
  • C
    \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
  • D
    \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
Câu 5 :

Hàm số \(y = \tan x\)tuần hoàn với chu kì là:

  • A
    \(\frac{\pi }{2}\).
  • B
    \(\pi \).    
  • C
    \(\frac{{3\pi }}{2}\).
  • D
    \(2\pi \).
Câu 6 :

Độ dài của 60 lá dương xỉ trưởng thành được cho bằng mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Tần số của nhóm [30;40) là:

  • A
    9.
  • B
    17.    
  • C
    24.
  • D
    10.
Câu 7 :

Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số tăng?

  • A
    1; 2; 3; 4; …
  • B
    4; 3; 2; 5; …
  • C
    1; 2; 1; 2; …
  • D
    4; 3; 1; 2; …
Câu 8 :

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

  • A
    1; 2; 3; 5; 7; …
  • B
    1; 3; 5; 7; 9; ….    
  • C
    1; 2; 4; 8; 16; ….
  • D
    1; 1; 2; 3; 4; ….
Câu 9 :

Dãy số nào dưới đây được viết dưới dạng công thức của số hạng tổng quát?

  • A
    1; 4; 7; 8; 10; ...
  • B
    Dãy số gồm các số nguyên dương chia hết cho 5.    
  • C
    \({u_1} = 2;\;{u_n} = 3{u_{n - 1}} - 1\) với \(n \ge 2\).
  • D
    \({u_n} = \frac{1}{n}\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\).
Câu 10 :

Biết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = a > 0\). Chọn đáp án đúng

  • A
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}{v_n} =  + \infty \).
  • B
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}{v_n} =  - \infty \).    
  • C
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}{v_n} = 0\).
  • D
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}{v_n} = a\).
Câu 11 :

Hàm số nào sau đây liên tục trên \(\mathbb{R}\)?

  • A
    \(y = \frac{{x + 1}}{x}\).
  • B
    \(y = \tan x\).    
  • C
    \(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2}}}\).
  • D
    \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}\).
Câu 12 :

Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{4}{n}\) bằng:

  • A
    1.
  • B
    0.    
  • C
    2.
  • D
    4.
Câu 13 :

Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x - 3} \right)\) là:

  • A
    1.
  • B
    2.    
  • C
    \( - 2\).
  • D
    \( + \infty \).
Câu 14 :

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A
    (ABC) // (AB’C’).
  • B
    (B’A’C’) // (B’AC).    
  • C
    (ABC’) // (A’B’C’).
  • D
    (ABC) // (A’B’C’).
Câu 15 :

Cho đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) không có điểm chung. Kết luận nào sau đây là đúng?

  • A
    \(d//\left( \alpha  \right)\).
  • B
    d cắt \(\left( \alpha  \right)\).    
  • C
    d nằm trong \(\left( \alpha  \right)\).
  • D
    d cắt a hoặc d nằm trong \(\left( \alpha  \right)\).
Câu 16 :

Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và b?

  • A
    1.
  • B
    2.    
  • C
    4.
  • D
    3.
Câu 17 :

Hình chóp tứ giác có mặt bên là hình gì?

  • A
    Hình tứ giác.
  • B
    Hình tam giác.    
  • C
    Hình ngũ giác.
  • D
    Hình lục giác.
Câu 18 :

Nếu d là giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) thì:

  • A
    \(d \subset \left( P \right)\).
  • B
    \(d \subset \left( Q \right)\).    
  • C
    Cả a và b đều đúng.
  • D
    Cả a và b đều sai.
Câu 19 :

Cho tứ diện ABCD. Chọn đáp án đúng.

  • A
    AB và CD là hai đường thẳng vuông góc với nhau.
  • B
    AB và CD là hai đường thẳng cắt nhau.    
  • C
    AB và CD là hai đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng.
  • D
    AB và CD là hai đường thẳng chéo nhau.
Câu 20 :

Khảo sát thời gian tập thể dục trong một ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {60;80} \right)\) là:

  • A
    60.
  • B
    70.    
  • C
    80.
  • D
    7.
Câu 21 :

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 2\cos x + 1\) bằng:

  • A
    \( - 1\).
  • B
    1.    
  • C
    3.
  • D
    \(\frac{1}{2}\).
Câu 22 :

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \({\cos ^2}x - {\sin ^2}x - m = 0\) có nghiệm?

  • A
    \(m \ge 1\).
  • B
    \( - 1 \le m \le 1\).    
  • C
    \(m \le 1\).
  • D
    \(m \ge 0\).
Câu 23 :

Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\sin \alpha  = \frac{1}{2}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \). Tính \(\cos \alpha \).

  • A
    \(\cos \alpha  = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\).
  • B
    \(\cos \alpha  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).    
  • C
    \(\cos \alpha  = \frac{{ \pm \sqrt 3 }}{2}\).
  • D
    Cả A, B, C đều sai.
Câu 24 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1;{u_2} = 1\\{u_n} = {u_{n - 1}} + 2{u_{n - 2}}\end{array} \right.\left( {n \ge 3,n \in \mathbb{N}} \right)\). Giá trị của \({u_3} + {u_4}\) là:

  • A
    4.
  • B
    6.    
  • C
    8.
  • D
    10.
Câu 25 :

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 2,q = 3\). Tính tổng của mười số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.

  • A
    59048.
  • B
    59084.    
  • C
    59050.
  • D
    59080.
Câu 26 :

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 2;d = 3\). Khi đó, \({u_4} + {u_6}\) bằng:

  • A
    24.
  • B
    30.    
  • C
    26.
  • D
    28.
Câu 27 :

Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 16}}{{x - 2}}\) là:

  • A
    2.
  • B
    0.    
  • C
    \( - \infty \).
  • D
    \( + \infty \).
Câu 28 :

Biết rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }} = a\sqrt b \) (với a, b là các số nguyên). Chọn đáp án đúng:

  • A
    \({a^2} + {b^2} = 13\).
  • B
    \({a^2} + {b^2} = 9\).    
  • C
    \({a^2} + {b^2} = 6\).
  • D
    \({a^2} + {b^2} = 11\).
Câu 29 :

Với giá trị nào của m thì hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 1\;khi\;x \ne -1\\m\;\;\;\;\;\;\,khi\;x = -1\end{array} \right.\) liên tục tại \({x_0} =  - 1\)?

  • A
    \(m = 2\).
  • B
    \(m =  - 2\).    
  • C
    \(m = 1\).
  • D
    \(m =  - 1\).
Câu 30 :

Cho tam giác ABC và một điểm S không thuộc mặt phẳng ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khi đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (SBN) và (SCM) là:

  • A
    SG với G là giao điểm của BN và MC.
  • B
    SN.    
  • C
    SM.
  • D
    AG với G là giao điểm của BN và MC.
Câu 31 :

Cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Xác định được tất cả bao nhiêu từ 3 trong 4 điểm đã cho?

  • A
    1.
  • B
    2.    
  • C
    3.
  • D
    4.
Câu 32 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là:

  • A
    Đường thẳng m qua S vuông góc với AB.
  • B
    Đường thẳng m qua S song song với AB.    
  • C
    SO với O là giao điểm của AC và BD.
  • D
    Cả A, B, C đều sai.
Câu 33 :

Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có AC cắt BD tại O và A’C’ cắt B’D’ tại O’. Khi đó, mặt phẳng (AB’D’) song song với mặt phẳng nào dưới đây?

  • A
    (A’OC’).
  • B
    (BDA’).    
  • C
    (BDC’).
  • D
    (BCD).
Câu 34 :

Tìm cân nặng trung bình của học sinh lớp 11A cho dưới mẫu số liệu ghép nhóm sau:

  • A
    52,33.
  • B
    50,33.    
  • C
    55,33.
  • D
    51,33.
Câu 35 :

Tuổi thọ (năm) của các bình ác quy ô tô được cho như sau:

Cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

  • A
    15.
  • B
    56.    
  • C
    10.
  • D
    7.
II. Tự luận
Câu 1 :

Tính giới hạn sau: \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2\sqrt {3 + x}  - 4x}}{{2x - 2}}\)
Câu 2 :

Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho \(MB = 2MC\). Chứng minh rằng MG // (ACD).
Câu 3 :

Cho hai số thực a và b thỏa mãn điều kiện \(\sin \left( {a + b} \right) - 2\cos \left( {a - b} \right) = 0\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{1}{{2 - \sin 2a}} + \frac{1}{{2 - \sin 2b}}\).
Câu 4 :

Chứng minh rằng dãy số \({u_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} +  \ldots  + \frac{1}{{n(n + 1)}}\) tăng và bị chặn trên.

Lời giải và đáp án

I. Trắc nghiệm
Câu 1 :

Nếu một cung tròn có số đo là 20 độ thì số đo radian của nó là:

  • A
    \(\frac{\pi }{{10}}\).
  • B
    \(\frac{\pi }{9}\).    
  • C
    \(\frac{\pi }{8}\).
  • D
    \(\frac{\pi }{{11}}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức: \({\alpha ^0} = \alpha .\frac{\pi }{{180}}rad\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({20^0} = 20.\frac{\pi }{{180}} = \frac{\pi }{9}\)

Câu 2 :

Chọn đáp án đúng

  • A
    \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\).
  • B
    \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\sin b - \sin a\cos b\).    
  • C
    \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\).
  • D
    \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\sin b + \sin a\cos b\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức: \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\).

Lời giải chi tiết :

Ta có:\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\)

Câu 3 :

Nghiệm của phương trình \(\sin x = \sin \frac{\pi }{3}\) là:

  • A
    \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
  • B
    \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).    
  • C
    \(x =  \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
  • D
    \(x =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Phương trình \(\sin x = \sin \alpha \)có nghiệm: \(x = \alpha  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x = \pi  - \alpha  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Lời giải chi tiết :

\(\sin x = \sin \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi  - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Câu 4 :

Tập xác định của D của hàm số \(y = \cot x\) là:

  • A
    \(D = \mathbb{R}\).
  • B
    \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2}\left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).    
  • C
    \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
  • D
    \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về tập xác định của hàm số lượng giác: Hàm số \(y = \cot x\) có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\)

Lời giải chi tiết :

Hàm số \(y = \cot x\) có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\)

Câu 5 :

Hàm số \(y = \tan x\)tuần hoàn với chu kì là:

  • A
    \(\frac{\pi }{2}\).
  • B
    \(\pi \).    
  • C
    \(\frac{{3\pi }}{2}\).
  • D
    \(2\pi \).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về đồ thị và tính chất của hàm số \(y = \tan x\): Hàm số \(y = \tan x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \)

Lời giải chi tiết :

Hàm số \(y = \tan x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \)

Câu 6 :

Độ dài của 60 lá dương xỉ trưởng thành được cho bằng mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Tần số của nhóm [30;40) là:

  • A
    9.
  • B
    17.    
  • C
    24.
  • D
    10.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về tần số của mẫu số liệu ghép nhóm: Số giá trị của mẫu số liệu thuộc mỗi nhóm là tần số của nhóm đó.

Lời giải chi tiết :

Tần số của nhóm \(\left[ {30;40} \right)\) là 24.

Câu 7 :

Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số tăng?

  • A
    1; 2; 3; 4; …
  • B
    4; 3; 2; 5; …
  • C
    1; 2; 1; 2; …
  • D
    4; 3; 1; 2; …

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về dãy số tăng: Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có: \({u_{n + 1}} > {u_n}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)

Lời giải chi tiết :

Trong các dãy số trên, chỉ có dãy số 1; 2; 3; 4; … có \(1 < 2 < 3 < 4...\) nên dãy số 1; 2; 3; 4; … là dãy số tăng.

Câu 8 :

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

  • A
    1; 2; 3; 5; 7; …
  • B
    1; 3; 5; 7; 9; ….    
  • C
    1; 2; 4; 8; 16; ….
  • D
    1; 1; 2; 3; 4; ….

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về cấp số cộng: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Lời giải chi tiết :

Trong các dãy số trên, chỉ có dãy số 1; 3; 5; 7; 9; … có kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d \(\left( {d = 2} \right)\)

Câu 9 :

Dãy số nào dưới đây được viết dưới dạng công thức của số hạng tổng quát?

  • A
    1; 4; 7; 8; 10; ...
  • B
    Dãy số gồm các số nguyên dương chia hết cho 5.    
  • C
    \({u_1} = 2;\;{u_n} = 3{u_{n - 1}} - 1\) với \(n \ge 2\).
  • D
    \({u_n} = \frac{1}{n}\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về cách cho một dãy số.

Lời giải chi tiết :

Dãy số được viết dưới dạng công thức của số hạng tổng quát là: \({u_n} = \frac{1}{n}\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\)

Câu 10 :

Biết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = a > 0\). Chọn đáp án đúng

  • A
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}{v_n} =  + \infty \).
  • B
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}{v_n} =  - \infty \).    
  • C
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}{v_n} = 0\).
  • D
    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}{v_n} = a\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc về giới hạn vô cực của dãy số: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = a > 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}{v_n} =  + \infty \).

Lời giải chi tiết :

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = a > 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}{v_n} =  + \infty \).

Câu 11 :

Hàm số nào sau đây liên tục trên \(\mathbb{R}\)?

  • A
    \(y = \frac{{x + 1}}{x}\).
  • B
    \(y = \tan x\).    
  • C
    \(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2}}}\).
  • D
    \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về hàm số liên tục trên một khoảng: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm trên khoảng này.

Lời giải chi tiết :

Hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)

Câu 12 :

Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{4}{n}\) bằng:

  • A
    1.
  • B
    0.    
  • C
    2.
  • D
    4.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{n} = 0\)

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{n} = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{4}{n} = 0\)

Câu 13 :

Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x - 3} \right)\) là:

  • A
    1.
  • B
    2.    
  • C
    \( - 2\).
  • D
    \( + \infty \).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M\)

Lời giải chi tiết :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x - 3} \right) = 1 - 3 =  - 2\)

Câu 14 :

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A
    (ABC) // (AB’C’).
  • B
    (B’A’C’) // (B’AC).    
  • C
    (ABC’) // (A’B’C’).
  • D
    (ABC) // (A’B’C’).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về hình lăng trụ tam giác: Hình lăng trụ có hai đáy song song với nhau.

Lời giải chi tiết :

Hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có (ABC) // (A’B’C’).

Câu 15 :

Cho đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) không có điểm chung. Kết luận nào sau đây là đúng?

  • A
    \(d//\left( \alpha  \right)\).
  • B
    d cắt \(\left( \alpha  \right)\).    
  • C
    d nằm trong \(\left( \alpha  \right)\).
  • D
    d cắt a hoặc d nằm trong \(\left( \alpha  \right)\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: Nếu d và \(\left( \alpha  \right)\) không có điểm chung thì \(d//\left( \alpha  \right)\)

Lời giải chi tiết :

Nếu d và \(\left( \alpha  \right)\) không có điểm chung thì \(d//\left( \alpha  \right)\)

Câu 16 :

Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và b?

  • A
    1.
  • B
    2.    
  • C
    4.
  • D
    3.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng: Có bốn vị trí tương đối của hai đường thẳng a và b trong không gian: cắt nhau, trùng nhau, song song và chéo nhau.

Lời giải chi tiết :

Hai đường thẳng a và b có thể: cắt nhau, trùng nhau, song song, chéo nhau.

Câu 17 :

Hình chóp tứ giác có mặt bên là hình gì?

  • A
    Hình tứ giác.
  • B
    Hình tam giác.    
  • C
    Hình ngũ giác.
  • D
    Hình lục giác.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về hình chóp: Hình chóp tứ giác có mặt bên là hình tam giác.

Lời giải chi tiết :

Hình chóp tứ giác có mặt bên là hình tam giác.

Câu 18 :

Nếu d là giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) thì:

  • A
    \(d \subset \left( P \right)\).
  • B
    \(d \subset \left( Q \right)\).    
  • C
    Cả a và b đều đúng.
  • D
    Cả a và b đều sai.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về giao tuyến của hai mặt phẳng: Đường thẳng chung d (nếu có) của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Vì d là giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) thì \(d \subset \left( P \right)\) và \(d \subset \left( Q \right)\)

Câu 19 :

Cho tứ diện ABCD. Chọn đáp án đúng.

  • A
    AB và CD là hai đường thẳng vuông góc với nhau.
  • B
    AB và CD là hai đường thẳng cắt nhau.    
  • C
    AB và CD là hai đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng.
  • D
    AB và CD là hai đường thẳng chéo nhau.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về hai đường thẳng chéo nhau: Nếu hai đường thẳng a và b không cùng nằm trong bất kì một mặt phẳng nào thì ta nó a và b chéo nhau.

Lời giải chi tiết :

Vì hai đường thẳng AB và CD không cùng nằm trong một mặt phẳng nào nên AB và CD là hai đường thẳng chéo nhau.

Câu 20 :

Khảo sát thời gian tập thể dục trong một ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {60;80} \right)\) là:

  • A
    60.
  • B
    70.    
  • C
    80.
  • D
    7.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về giá trị đại diện của một nhóm.

Cho mẫu số liệu ghép nhóm:

Với nhóm \(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\) thì \({x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\).

Lời giải chi tiết :

Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {60;80} \right)\) là: \(\frac{{60 + 80}}{2} = 70\).

Câu 21 :

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 2\cos x + 1\) bằng:

  • A
    \( - 1\).
  • B
    1.    
  • C
    3.
  • D
    \(\frac{1}{2}\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về hàm số lượng giác: \( - 1 \le \cos x \le 1\) với mọi số thực x.

Lời giải chi tiết :

Vì \(\cos x \le 1\;\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow 2\cos x \le 2\;\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow 2\cos x + 1 \le 3\;\forall x \in \mathbb{R}\)

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 2\cos x + 1\) là 3

Câu 22 :

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \({\cos ^2}x - {\sin ^2}x - m = 0\) có nghiệm?

  • A
    \(m \ge 1\).
  • B
    \( - 1 \le m \le 1\).    
  • C
    \(m \le 1\).
  • D
    \(m \ge 0\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về điều kiện có nghiệm của phương trình \(\cos x = m\): Phương trình \(\cos x = m\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\left| m \right| \le 1\)

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({\cos ^2}x - {\sin ^2}x - m = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = m\left( 1 \right)\)

Để phương trình (1) có nghiệm thì \(\left| m \right| \le 1 \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 1\)

Câu 23 :

Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\sin \alpha  = \frac{1}{2}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \). Tính \(\cos \alpha \).

  • A
    \(\cos \alpha  = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\).
  • B
    \(\cos \alpha  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).    
  • C
    \(\cos \alpha  = \frac{{ \pm \sqrt 3 }}{2}\).
  • D
    Cả A, B, C đều sai.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Leftrightarrow \cos \alpha  =  \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  =  \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Mà \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) nên \(\cos \alpha  < 0\). Do đó, \(\cos \alpha  = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\).

Câu 24 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1;{u_2} = 1\\{u_n} = {u_{n - 1}} + 2{u_{n - 2}}\end{array} \right.\left( {n \ge 3,n \in \mathbb{N}} \right)\). Giá trị của \({u_3} + {u_4}\) là:

  • A
    4.
  • B
    6.    
  • C
    8.
  • D
    10.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tính các giá trị \({u_3}\) và \({u_4}\) rồi tính tổng.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({u_3} = {u_2} + 2{u_1} = 1 + 2.1 = 3;{u_4} = {u_3} + 2{u_2} = 3 + 2.1 = 5\). Do đó, \({u_3} + {u_4} = 3 + 5 = 8\).

Câu 25 :

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 2,q = 3\). Tính tổng của mười số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.

  • A
    59048.
  • B
    59084.    
  • C
    59050.
  • D
    59080.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân: Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội \(q \ne 1\). Khi đó, tổng của n số hạng đầu tiên trong cấp số nhân là: \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)

Lời giải chi tiết :

Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là:  \(S = \frac{{2.\left( {1 - {3^{10}}} \right)}}{{1 - 3}} = 59048\)

Câu 26 :

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 2;d = 3\). Khi đó, \({u_4} + {u_6}\) bằng:

  • A
    24.
  • B
    30.    
  • C
    26.
  • D
    28.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định theo công thức: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({u_4} = {u_1} + 3d = 2 + 3.3 = 11;{u_6} = {u_1} + 5d = 2 + 5.3 = 17\)

Do đó, \({u_4} + {u_6} = 11 + 17 = 28\)

Câu 27 :

Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 16}}{{x - 2}}\) là:

  • A
    2.
  • B
    0.    
  • C
    \( - \infty \).
  • D
    \( + \infty \).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức tính giới hạn của thương \(\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\): Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L < 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } g\left( x \right) = 0\) và \(g\left( x \right) > 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} =  - \infty \)

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 16} \right) = 2 - 16 =  - 14 < 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} \right) = 0\)

Với \(x \to {2^ + }\) thì \(x > 2\) nên \(x - 2 > 0\). Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 16}}{{x - 2}} =  - \infty \)

Câu 28 :

Biết rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }} = a\sqrt b \) (với a, b là các số nguyên). Chọn đáp án đúng:

  • A
    \({a^2} + {b^2} = 13\).
  • B
    \({a^2} + {b^2} = 9\).    
  • C
    \({a^2} + {b^2} = 6\).
  • D
    \({a^2} + {b^2} = 11\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về giới hạn hàm số để làm: Nhận thấy \(x = \sqrt 3 \) là nghiệm của cả tử thức và mẫu thức nên ta cần rút phân thức trước khi tính giới hạn.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{\left( {x - \sqrt 3 } \right)\left( {x + \sqrt 3 } \right)}}{{x - \sqrt 3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {x + \sqrt 3 } \right) = \sqrt 3  + \sqrt 3  = 2\sqrt 3 \).

Do đó, \(a = 2,b = 3\). Suy ra: \({a^2} + {b^2} = {2^2} + {3^2} = 13\).

Câu 29 :

Với giá trị nào của m thì hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 1\;khi\;x \ne -1\\m\;\;\;\;\;\;\,khi\;x = -1\end{array} \right.\) liên tục tại \({x_0} =  - 1\)?

  • A
    \(m = 2\).
  • B
    \(m =  - 2\).    
  • C
    \(m = 1\).
  • D
    \(m =  - 1\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về hàm số liên tục: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm \({x_0}\). Hàm số \(f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết :

Tập xác định của hàm số f(x) là \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \left( {2x + 1} \right) =  - 1\).

Hàm số đã cho liên tục tại \({x_0} =  - 1\) khi \(f\left( { - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} f\left( x \right) \Leftrightarrow m =  - 1\).

Câu 30 :

Cho tam giác ABC và một điểm S không thuộc mặt phẳng ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khi đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (SBN) và (SCM) là:

  • A
    SG với G là giao điểm của BN và MC.
  • B
    SN.    
  • C
    SM.
  • D
    AG với G là giao điểm của BN và MC.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về giao tuyến của hai mặt phẳng: Đường thẳng chung d (nếu có) của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Xét mặt phẳng (ABC), gọi G là giao điểm của BN và CM.

Vì \(G \in BN \Rightarrow G \in \left( {SBN} \right);G \in CM \Rightarrow G \in \left( {SCM} \right)\) nên G là điểm chung của hai mặt phẳng (SBN) và (SCM)

Ta có: \(S \in SB \Rightarrow S \in \left( {SBN} \right),S \in SC \Rightarrow S \in \left( {SCM} \right)\) nên S là điểm chung của hai mặt phẳng (SBN) và (SCM)

Do đó, SG là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBN) và (SCM).

Câu 31 :

Cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Xác định được tất cả bao nhiêu từ 3 trong 4 điểm đã cho?

  • A
    1.
  • B
    2.    
  • C
    3.
  • D
    4.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về cách xác định một mặt phẳng: Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định qua ba điểm không thẳng hàng.

Lời giải chi tiết :

Ta xác định được các mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD). Do đó, xác định được 4 mặt phẳng.

Câu 32 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là:

  • A
    Đường thẳng m qua S vuông góc với AB.
  • B
    Đường thẳng m qua S song song với AB.    
  • C
    SO với O là giao điểm của AC và BD.
  • D
    Cả A, B, C đều sai.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về giao tuyến của hai mặt phẳng: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với nhau thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Ta có: Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD. Mà \(AB \subset \left( {SAB} \right),CD \subset \left( {SCD} \right)\)

Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng m qua S song song với AB.

Câu 33 :

Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có AC cắt BD tại O và A’C’ cắt B’D’ tại O’. Khi đó, mặt phẳng (AB’D’) song song với mặt phẳng nào dưới đây?

  • A
    (A’OC’).
  • B
    (BDA’).    
  • C
    (BDC’).
  • D
    (BCD).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về hai mặt phẳng song song: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.

Lời giải chi tiết :

Vì BD // B’D’ nên B’D’ // (BDC’). Vì AD’ // BC’ nên AD’ // (BDC’)

Lại có hai đường thẳng AD’ và B’D’ cắt nhau và nằm trong mặt phẳng (AB’D’). Do đó, (AB’D’) // (BDC’)

Câu 34 :

Tìm cân nặng trung bình của học sinh lớp 11A cho dưới mẫu số liệu ghép nhóm sau:

  • A
    52,33.
  • B
    50,33.    
  • C
    55,33.
  • D
    51,33.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm:

Cho mẫu số liệu ghép nhóm

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu là \(\overline x \): \(\overline x  = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}\), trong đó \(n = {m_1} + ... + {m_k}\) là cỡ mẫu và \({x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}\) (với \(i = 1;...;k\)) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\).

Lời giải chi tiết :

Trong mỗi khoảng cân nặng, giá trị đại diện được thể hiện ở bảng sau:

Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11A là: \(\overline x  = \frac{{10.43 + 48.8 + 53.16 + 58.4 + 63.2 + 68.2}}{{10 + 8 + 16 + 4 + 2 + 2}} \approx 51,33\left( {kg} \right)\)

Câu 35 :

Tuổi thọ (năm) của các bình ác quy ô tô được cho như sau:

Cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

  • A
    15.
  • B
    56.    
  • C
    10.
  • D
    7.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về cỡ mẫu số liệu ghép nhóm: Cho mẫu số liệu ghép nhóm

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là \(\overline x \): \(\overline x  = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}\), trong đó \(n = {m_1} + ... + {m_k}\) là cỡ mẫu

Lời giải chi tiết :

Cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(4 + 10 + 15 + 14 + 7 + 6 = 56\)

II. Tự luận
Câu 1 :

Tính giới hạn sau: \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2\sqrt {3 + x}  - 4x}}{{2x - 2}}\)
Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về giới hạn của hàm số: Rút gọn biểu thức \(\frac{{2\sqrt {3 + x}  - 4x}}{{2x - 2}}\) rồi áp dụng quy tắc về giới hạn để tính.

Lời giải chi tiết :

\(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2\sqrt {3 + x}  - 4x}}{{2x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {2\sqrt {3 + x}  - 4x} \right)\left( {2\sqrt {3 + x}  + 4x} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {2\sqrt {3 + x}  + 4x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{4\left( {x + 3} \right) - 16{x^2}}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {2\sqrt {3 + x}  + 4x} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 16{x^2} + 4x + 12}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {2\sqrt {3 + x}  + 4x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 4\left( {x - 1} \right)\left( {4x + 3} \right)}}{{4\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {3 + x}  + 2x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - \left( {4x + 3} \right)}}{{\sqrt {3 + x}  + 2x}} = \frac{{ - 7}}{4}\)

Câu 2 :

Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho \(MB = 2MC\). Chứng minh rằng MG // (ACD).
Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về đường thẳng song song với mặt phẳng: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nằm trong (P) thì a song song với (P).

Lời giải chi tiết :

Gọi E là trung điểm của BC. Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên \(\frac{{GD}}{{ED}} = \frac{2}{3}\)

Mà \(MB = 2MC \Rightarrow 3MC = BC\). Lại có: \(EC = BE = \frac{1}{2}BC \Rightarrow \frac{{MC}}{{EC}} = \frac{2}{3}\)

Tam giác EDC có: \(\frac{{GD}}{{ED}} = \frac{{MC}}{{EC}}\left( { = \frac{2}{3}} \right)\) nên MG // CD (định lý Thalès đảo)

Mà \(CD \subset \left( {ACD} \right)\) nên MG // (ACD)

Câu 3 :

Cho hai số thực a và b thỏa mãn điều kiện \(\sin \left( {a + b} \right) - 2\cos \left( {a - b} \right) = 0\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{1}{{2 - \sin 2a}} + \frac{1}{{2 - \sin 2b}}\).
Phương pháp giải :

Sử dụng công thức: \(\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2};\sin a\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)} \right]\)

Lời giải chi tiết :

\(A = \frac{1}{{2 - \sin 2a}} + \frac{1}{{2 - \sin 2b}} = \frac{{4 - \left( {\sin 2a + \sin 2b} \right)}}{{\left( {2 - \sin 2a} \right)\left( {2 - \sin 2b} \right)}} = \frac{{4 - \left( {\sin 2a + \sin 2b} \right)}}{{4 - 2\left( {\sin 2a + \sin 2b} \right) + \sin 2a.\sin 2b}}\)

Vì \(\sin \left( {a + b} \right) - 2\cos \left( {a - b} \right) = 0 \Rightarrow \sin \left( {a + b} \right) = 2\cos \left( {a - b} \right)\)

Ta có: \(4 - \left( {\sin 2a + \sin 2b} \right) = 4 - 2\sin \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right) = 4 - 4{\cos ^2}\left( {a - b} \right) = 4{\sin ^2}\left( {a - b} \right)\)

Lại có: \(4 - 2\left( {\sin 2a + \sin 2b} \right) + \sin 2a.\sin 2b\)

\( = 4 - 4\sin \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right) + \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2a - 2b} \right) - \cos \left( {2a + 2b} \right)} \right]\)

\( = 4 - 8{\cos ^2}\left( {a - b} \right) + \frac{1}{2}\left[ {2{{\cos }^2}\left( {a - b} \right) - 1 - 1 + 2{{\sin }^2}\left( {a + b} \right)} \right]\)

\( = 3 - 7{\cos ^2}\left( {a - b} \right) + {\sin ^2}\left( {a + b} \right) = 3 - 3{\cos ^2}\left( {a - b} \right) = 3{\sin ^2}\left( {a - b} \right)\)

Vậy \(A = \frac{{4{{\sin }^2}\left( {a - b} \right)}}{{3{{\sin }^2}\left( {a - b} \right)}} = \frac{4}{3}\)

Câu 4 :

Chứng minh rằng dãy số \({u_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} +  \ldots  + \frac{1}{{n(n + 1)}}\) tăng và bị chặn trên.
Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về dãy số tăng: Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu \({u_{n + 1}} > {u_n}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)

Sử dụng kiến thức về dãy số bị chặn trên: Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \le M\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({u_n} = \frac{{2 - 1}}{{1.2}} + \frac{{3 - 2}}{{2.3}} + \frac{{4 - 3}}{{3.4}} +  \ldots  + \frac{{(n + 1) - n}}{{n(n + 1)}} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} +  \ldots  + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}\)

Xét hiệu: \({u_{n + 1}} - {u_n} = 1 - \frac{1}{{n + 2}} - \left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right) = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}} > 0 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) tăng

Nhận thấy \({u_n} = 1 - \frac{1}{{n + 1}} < 1 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.

Bài liên quan
close