Trắc nghiệm Bài 22: Tính chất cơ bản của phân thức đại số Toán 8 Kết nối tri thứcĐề bài
Câu 1 :
Chọn câu sai. Với đa thức\(B \ne 0\) ta có:
Câu 2 :
Phân thức \(\frac{{{x^2} - 7x + 12}}{{{x^2} - 6x + 9}}\) (với \(x \ne 3\)) bằng với phân thức nào sau đây?
Câu 3 :
Mẫu thức chung của các phân thức \(\frac{5}{{2\left( {x - 3} \right)}},\,\frac{7}{{{{\left( {x - 3} \right)}^3}}}\)là?
Câu 4 :
Quy đồng mẫu thức các phân thức \(\frac{1}{x},\,\frac{2}{y},\,\frac{3}{z}\) ta được:
Câu 5 :
Cho \(A = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{2{x^2} + 6x}}\). Khi đó:
Câu 6 :
Đa thức nào sau đây là mẫu thức chung của các phân thức \(\frac{1}{{2 - x}},\,\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\,\frac{{3{x^2} - 1}}{{{x^2} + 4x + 4}}\)
Câu 7 :
Quy đồng mẫu thức các phân thức \(\frac{1}{{{x^3} + 1}},\,\frac{2}{{3x + 3}},\,\frac{x}{{2{x^2} - 2x + 2}}\) ta được các phân thức lần lượt là:
Câu 8 :
Tìm \(x\) biết \({a^2}x + 2ax + 4 = {a^2}\) với \(a \ne 0;\,a \ne - 2\).
Câu 9 :
Tính giá trị phân thức \(A = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{2{x^2} + 6x}}\) tại \(x = 1\).
Câu 10 :
Cho \(A = \frac{{2{a^2} + 8ab + 8{b^2}}}{{a + 2b}}\) và \(a + 2b = 5\). Khi đó:
Câu 11 :
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(\frac{5}{{3x + 2}}\) có giá trị là một số nguyên?
Câu 12 :
Cho các phân thức \(\frac{{2x}}{{3 - 3x}};\,\frac{{5x - 4}}{{4x + 4}};\,\frac{{{x^2} + x + 1}}{{2\left( {{x^2} - 1} \right)}}\) An nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là \(2\left( {{x^2} - 1} \right)\) Bình nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là \(12\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\) Chọn câu đúng?
Câu 13 :
Rút gọn phân thức \(A = \frac{{4|x - 3| - 2|x - 5|}}{{9{x^2} - 66x + 121}}\) biết \(3 < x < 5\)
Câu 14 :
Tìm giá trị lớn nhất của phân thức \(A = \frac{5}{{{x^2} - 6x + 10}}\)
Câu 15 :
Giá trị của biểu thức \(A = \frac{{\left( {2{x^2} + 2x} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {{x^3} - 4x} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) với \(x = \frac{1}{2}\) là
Câu 16 :
Với giá trị nào của \(x\) thì \(A = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}}\) đạt giá trị nhỏ nhất?
Câu 17 :
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 6}}{{x + 2}}\) có giá trị nguyên?
Câu 18 :
Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{\left( {{x^2} - 4{y^2}} \right)\left( {x - 2y} \right)}}{{{x^2} - 4xy + 4{y^2}}}\) tại \(x = 98\) và \(y = 1\)
Câu 19 :
Để có các phân thức có cùng mẫu, ta cần điền vào các chỗ trống \(\frac{{x + 3}}{{{x^2} + 8x + 15}} = \frac{{x - 3}}{{...}};\,\frac{{5x - 15}}{{{x^2} - 6x + 9}} = \frac{{...}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)}}\). Các đa thức lần lượt là:
Câu 20 :
Cho \(a > b > 0\). Chọn câu đúng?
Câu 21 :
Với điều kiện nào thì hai phân thức \(\frac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}}\) và \(\frac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}\) bằng nhau?
Câu 22 :
Cho \(A = \frac{{{x^4} - {x^3} - x + 1}}{{{x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 2x + 2}}\). Kết luận nào sau đây đúng?
Câu 23 :
Cho \(abc \ne 0;\,a + b = c\). Tính giá trị của phân thức \(A = \frac{{\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}}\)
Câu 24 :
Cho \(a,\,b,\,c,\,d\) thỏa mãn \(a + b + c + d = 0;\,ab + ac + bc = 1\). Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{3\left( {ab - c{\rm{d}}} \right)\left( {bc - ad} \right)\left( {ca - bd} \right)}}{{\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)}}\).
Câu 25 :
Tính giá trị của phân thức \(A = \frac{{{a^3} - {b^3} + {c^3} + 3abc}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}}}\) biết \(a + c - b = 10\).
Câu 26 :
Biểu thức \(A = \frac{{{x^2} + 5x + 5}}{{{x^2} + 4x + 4}}\) có giá trị lớn nhất là:
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Chọn câu sai. Với đa thức\(B \ne 0\) ta có:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Dựa vào tính chất cơ bản của phân thức đại số: - Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho: \(\frac{A}{B} = \frac{{A.M}}{{B.M}}\) (\(M\) là một đa thức khác đa thức 0) - Nếu tử và mẫu của một phân thức có nhân tử chung thì khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó ta được một phân thức bằng phân thức đã cho: \(\frac{{A:N}}{{B:N}} = \frac{A}{B}\) (\(N\) là một nhân tử chung) Lời giải chi tiết :
Theo tính chất cơ bản của phân thức đại số, ta có: \(\frac{A}{B} = \frac{{A.M}}{{B.M}}\) (với \(M\) khác đa thức 0) \( \Rightarrow \frac{A}{B} = \frac{{A\left( { - 1} \right)}}{{B\left( { - 1} \right)}} = \frac{{ - A}}{{ - B}}\) \(\frac{A}{B} = \frac{{A:N}}{{B:N}}\) (với \(N\) là một nhân tử chung, \(N\) khác đa thức 0) Mệnh đề \(\frac{A}{B} = \frac{{A + M}}{{B + M}}\) sai. Ví dụ: \(\frac{2}{3} \ne \frac{3}{4} = \frac{{2 + 1}}{{3 + 1}}\)
Câu 2 :
Phân thức \(\frac{{{x^2} - 7x + 12}}{{{x^2} - 6x + 9}}\) (với \(x \ne 3\)) bằng với phân thức nào sau đây?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Muốn rút gọn một phân thức đại số ta làm như sau: - Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung; - Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó. Lời giải chi tiết :
\(\frac{{{x^2} - 7x + 12}}{{{x^2} - 6x + 9}} = \frac{{{x^2} - 4x - 3x + 12}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{x\left( {x - 4} \right) - 3\left( {x - 4} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{x - 4}}{{x - 3}}\)
Câu 3 :
Mẫu thức chung của các phân thức \(\frac{5}{{2\left( {x - 3} \right)}},\,\frac{7}{{{{\left( {x - 3} \right)}^3}}}\)là?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Chọn mẫu thức chung (MTC) của hai mẫu thức bằng cách lấy tích của các nhân tử được chọn như sau: - Nhân tử bằng số của MTC là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho (nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số ở MTC là BCNN của chúng); - Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất. Lời giải chi tiết :
Mẫu thức của hai phân thức \(\frac{5}{{2\left( {x - 3} \right)}},\,\frac{7}{{{{\left( {x - 3} \right)}^3}}}\) là \(2\left( {x - 3} \right)\) và \({\left( {x - 3} \right)^3}\) nên mẫu thức chung có phần hệ số là 2, phần biến số là \({\left( {x - 3} \right)^3}\). \( \Rightarrow \)Mẫu thức chung là \(2{\left( {x - 3} \right)^3}\)
Câu 4 :
Quy đồng mẫu thức các phân thức \(\frac{1}{x},\,\frac{2}{y},\,\frac{3}{z}\) ta được:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta làm như sau: - Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm các mẫu thức chung; - Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách chia MTC cho mẫu thức đó; - Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng. Lời giải chi tiết :
Mẫu chung của các phân thức là \(xyz\) Nhân tử phụ của \(\frac{1}{x}\) là \(yz\)\( \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{{yz}}{{xyz}}\) Nhân tử phụ của \(\frac{2}{y}\) là \(x{\rm{z}}\)\( \Rightarrow \frac{2}{y} = \frac{{2{\rm{xz}}}}{{xyz}}\) Nhân tử phụ của \(\frac{3}{z}\) là \(xy\)\( \Rightarrow \frac{3}{z} = \frac{{3{\rm{x}}y}}{{xyz}}\) Vậy quy đồng mẫu số các phân thức \(\frac{1}{x},\,\frac{2}{y},\,\frac{3}{z}\) ta được \(\frac{1}{x} = \frac{{yz}}{{xyz}},\,\frac{2}{y} = \frac{{2xz}}{{xyz}},\,\frac{3}{z} = \frac{{3xy}}{{xyz}}\)
Câu 5 :
Cho \(A = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{2{x^2} + 6x}}\). Khi đó:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Muốn rút gọn một phân thức đại số ta làm như sau: - Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung; - Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó. Lời giải chi tiết :
\(A = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{2{x^2} + 6x}} = \frac{{{x^2} + 3x - 2x - 6}}{{2\left( {{x^2} + 3x} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 3} \right) - 2\left( {x + 3} \right)}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x - 2}}{{2x}}\)
Câu 6 :
Đa thức nào sau đây là mẫu thức chung của các phân thức \(\frac{1}{{2 - x}},\,\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\,\frac{{3{x^2} - 1}}{{{x^2} + 4x + 4}}\)
Đáp án : C Phương pháp giải :
Chọn mẫu thức chung (MTC) của hai mẫu thức bằng cách lấy tích của các nhân tử được chọn như sau: - Nhân tử bằng số của MTC là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho (nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số ở MTC là BCNN của chúng); - Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất. Lời giải chi tiết :
Ta có các phân thức \(\frac{1}{{2 - x}},\,\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\,\frac{{3{x^2} - 1}}{{{x^2} + 4x + 4}}\) có mẫu thức lần lượt là: \(2 - x,\,{\left( {x - 2} \right)^2}\) và \({x^2} + 4x + 4 = {\left( {x + 2} \right)^2}\) nên mẫu thức chung là \({\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x + 2} \right)^2}\)
Câu 7 :
Quy đồng mẫu thức các phân thức \(\frac{1}{{{x^3} + 1}},\,\frac{2}{{3x + 3}},\,\frac{x}{{2{x^2} - 2x + 2}}\) ta được các phân thức lần lượt là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta làm như sau: - Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm các mẫu thức chung; - Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách chia MTC cho mẫu thức đó; - Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng. Lời giải chi tiết :
Ta có: \({x^3} + 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right);\,3x + 3 = 3\left( {x + 1} \right);\,2{x^2} - 2x + 2 = 2\left( {{x^2} - x + 1} \right)\) và \(BCNN\left( {2;3} \right) = 6\) nên mẫu thức chung của các phân thức \(\frac{1}{{{x^3} + 1}},\,\frac{2}{{3x + 3}},\,\frac{x}{{2{x^2} - 2x + 2}}\) là \(6\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) = 6\left( {{x^3} + 1} \right)\). Nhân tử phụ của \(\frac{1}{{{x^3} + 1}}\) là \(6\). \( \Rightarrow \frac{1}{{{x^3} + 1}} = \frac{6}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}}\) Nhân tử phụ của \(\frac{2}{{3x + 3}}\) là \(2\left( {{x^2} - x + 1} \right)\). \( \Rightarrow \frac{2}{{3x + 3}} = \frac{{2.2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{3\left( {x + 1} \right)2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \frac{{4{x^2} - 4x + 4}}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}}\) Nhân tử phụ của \(\frac{x}{{2{x^2} - 2x + 2}}\) là \(3\left( {x + 1} \right)\). \( \Rightarrow \frac{x}{{2{x^2} - 2x + 2}} = \frac{{x.3\left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right)3\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{3{x^2} + 3x}}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}}\)
Câu 8 :
Tìm \(x\) biết \({a^2}x + 2ax + 4 = {a^2}\) với \(a \ne 0;\,a \ne - 2\).
Đáp án : B Phương pháp giải :
Chuyển những đơn thức có chứa biến về một vế, những đơn thức không chứa biến về một vế. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}{a^2}x + 2ax + 4 = {a^2}\\ \Leftrightarrow {a^2}x + 2ax = {a^2} - 4\\ \Leftrightarrow x\left( {{a^2} + 2a} \right) = {a^2} - 4\\ \Leftrightarrow x = \frac{{{a^2} - 4}}{{{a^2} + 2a}}\\ \Leftrightarrow x = \frac{{\left( {a - 2} \right)\left( {a + 2} \right)}}{{a\left( {a + 2} \right)}}\\ \Leftrightarrow x = \frac{{a - 2}}{a}\end{array}\)
Câu 9 :
Tính giá trị phân thức \(A = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{2{x^2} + 6x}}\) tại \(x = 1\).
Đáp án : D Phương pháp giải :
Rút gọn phân thức \(A\): - Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung; - Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó. Tính giá trị của phân thức \(A\) tại \(x = 1\) Lời giải chi tiết :
\(A = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{2{x^2} + 6x}} = \frac{{{x^2} + 3x - 2x - 6}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 3} \right) - 2\left( {x + 3} \right)}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x - 2}}{{2x}}\) Tại \(x = 1\) ta có \(A = \frac{{1 - 2}}{{2.1}} = \frac{{ - 1}}{2}\)
Câu 10 :
Cho \(A = \frac{{2{a^2} + 8ab + 8{b^2}}}{{a + 2b}}\) và \(a + 2b = 5\). Khi đó:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Rút gọn phân thức \(A\): - Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung; - Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó. Tính giá trị của phân thức \(A\) với \(a + 2b = 5\) Lời giải chi tiết :
\(A = \frac{{2{a^2} + 8ab + 8{b^2}}}{{a + 2b}} = \frac{{2\left( {{a^2} + 4ab + 4{b^2}} \right)}}{{a + 2b}} = \frac{{2{{\left( {a + 2b} \right)}^2}}}{{a + 2b}} = 2\left( {a + 2b} \right) = 2.5 = 10\)
Câu 11 :
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(\frac{5}{{3x + 2}}\) có giá trị là một số nguyên?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Để phân thức \(\frac{5}{{3x + 2}}\) có giá trị là một số nguyên thì \(5 \vdots \left( {3x + 2} \right)\) Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \(3x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{ - 2}}{3}\) Để \(\frac{5}{{3x + 2}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {3x + 2} \right) \in \left( 5 \right) = \left\{ { - 5; - 1;1;5} \right\}\) Với \(3x + 2 = - 5 \Leftrightarrow x = - \frac{7}{3}\) (loại vì \(x \notin \mathbb{Z}\)) Với \(3x + 2 = - 1 \Leftrightarrow x = - 1\) (thỏa mãn \(x \in \mathbb{Z}\)) Với \(3x + 2 = 1 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{3}\)(loại vì \(x \notin \mathbb{Z}\)) Với \(3x + 2 = 5 \Leftrightarrow x = 1\)(thỏa mãn \(x \in \mathbb{Z}\)) Vậy có hai giá trị x để phân thức \(\frac{5}{{3x + 2}}\) có giá trị là một số nguyên.
Câu 12 :
Cho các phân thức \(\frac{{2x}}{{3 - 3x}};\,\frac{{5x - 4}}{{4x + 4}};\,\frac{{{x^2} + x + 1}}{{2\left( {{x^2} - 1} \right)}}\) An nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là \(2\left( {{x^2} - 1} \right)\) Bình nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là \(12\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\) Chọn câu đúng?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Chọn mẫu thức chung (MTC) của hai mẫu thức bằng cách lấy tích của các nhân tử được chọn như sau: - Nhân tử bằng số của MTC là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho (nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số ở MTC là BCNN của chúng); - Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất. Lời giải chi tiết :
Ta có các phân thức \(\frac{{2x}}{{3 - 3x}};\,\frac{{5x - 4}}{{4x + 4}};\,\frac{{{x^2} + x + 1}}{{2\left( {{x^2} - 1} \right)}}\) có mẫu thức lần lượt là: \(3 - 3x = 3\left( {1 - x} \right);\,4x + 4 = 4\left( {x + 1} \right)\) và \(2\left( {{x^2} - 1} \right) = 2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\) Vì \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^2} - 1\) và \(BCNN\left( {2;3;4} \right) = 12\) nên mẫu thức chung của các phân thức \(\frac{{2x}}{{3 - 3x}};\,\frac{{5x - 4}}{{4x + 4}};\,\frac{{{x^2} + x + 1}}{{2\left( {{x^2} - 1} \right)}}\) là \(12\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\). Vậy An sai, Bình đúng.
Câu 13 :
Rút gọn phân thức \(A = \frac{{4|x - 3| - 2|x - 5|}}{{9{x^2} - 66x + 121}}\) biết \(3 < x < 5\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Giá trị tuyệt đối của \(x\) được xác định như sau: \(|x| = \left\{ \begin{array}{l}x|x \ge 0\\ - x|x < 0\end{array} \right.\) Muốn rút gọn một phân thức đại số ta làm như sau: - Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung; - Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó. Lời giải chi tiết :
\(3 < x < 5 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 > 0\\x - 5 < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 3} \right| = x - 3\\\left| {x - 5} \right| = 5 - x\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow A = \frac{{4|x - 3| - 2|x - 5|}}{{9{x^2} - 66x + 121}} = \frac{{4\left( {x - 3} \right) - 2\left( {5 - x} \right)}}{{{{\left( {3x} \right)}^2} - 2.3x.11 + {{11}^2}}}\\ = \frac{{4x - 12 - 10 + 2x}}{{{{\left( {3x - 11} \right)}^2}}} = \frac{{6x - 22}}{{{{\left( {3x - 11} \right)}^2}}} = \frac{{2\left( {3x - 11} \right)}}{{{{\left( {3x - 11} \right)}^2}}} = \frac{2}{{3x - 11}}\end{array}\)
Câu 14 :
Tìm giá trị lớn nhất của phân thức \(A = \frac{5}{{{x^2} - 6x + 10}}\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Để tìm giá trị lớn nhất của phân thức \(A = \frac{5}{{{x^2} - 6x + 10}}\) cần tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức \({x^2} - 6x + 10\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \({x^2} - 6x + 10 = {x^2} - 6x + 9 + 1 = {\left( {x - 3} \right)^2} + 1\) Vì \({\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\forall x\) nên \({\left( {x - 3} \right)^2} + 1 \ge 1\forall x\) hay \({x^2} - 6x + 10 \ge 1\forall x\) \( \Rightarrow \frac{5}{{{x^2} - 6x + 10}} \le \frac{5}{1} = 5 \Leftrightarrow A \le 5\) Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 3\) Vậy với \(x = 3\) thì \(A\) đạt giá trị lớn nhất là 5.
Câu 15 :
Giá trị của biểu thức \(A = \frac{{\left( {2{x^2} + 2x} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {{x^3} - 4x} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) với \(x = \frac{1}{2}\) là
Đáp án : B Phương pháp giải :
Rút gọn biểu thức \(A\): - Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung; - Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó. Tính giá trị của biểu thức \(A\) với \(x = \frac{1}{2}\) Lời giải chi tiết :
\(A = \frac{{\left( {2{x^2} + 2x} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {{x^3} - 4x} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2x\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}}\) Với \(x = \frac{1}{2}\) ta có \(A = \frac{{2\left( {\frac{1}{2} - 2} \right)}}{{\frac{1}{2} + 2}} = - \frac{6}{5}\)
Câu 16 :
Với giá trị nào của \(x\) thì \(A = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}}\) đạt giá trị nhỏ nhất?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Để tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức \(A = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}}\) ta cần biến đổi A thành dạng \({(P(x))^2} + Q\), khi đó \(GTNN\left( A \right){\rm{ }} = {\rm{ }}Q\). Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \({x^2} + 4x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2\) \(\begin{array}{l}A = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}} = \frac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}} - \frac{{2x}}{{{x^2} + 4x + 4}} = 1 - \frac{{2x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\ = 1 - \frac{{2x + 4}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} + \frac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 1 - \frac{2}{{x + 2}} + {\left( {\frac{2}{{x + 2}}} \right)^2} = {\left( {\frac{2}{{x + 2}} - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\end{array}\) Ta có \({\left( {\frac{2}{{x + 2}} - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \Rightarrow {\left( {\frac{2}{{x + 2}} - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\forall x\) hay \(A \ge \frac{3}{4}\) Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{{x + 2}} - \frac{1}{2}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{{x + 2}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = 2\) (thỏa mãn) Vậy \(A = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}}\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{3}{4}\) tại \(x = 2\)
Câu 17 :
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 6}}{{x + 2}}\) có giá trị nguyên?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Để phân thức \(\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 6}}{{x + 2}}\) có giá trị nguyên thì \(\left( {{x^3} + 2{x^2} + 4x + 6} \right) \vdots \left( {x + 2} \right)\) Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \(x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2\) \(\begin{array}{l}\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 6}}{{x + 2}} = \frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 8 - 2}}{{x + 2}} = \frac{{{x^2}\left( {x + 2} \right) + 4\left( {x + 2} \right) - 2}}{{x + 2}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x + 2} \right) - 2}}{{x + 2}} = {x^2} + 4 - \frac{2}{{x + 2}}\end{array}\) Ta có \({x^2} \in \mathbb{Z}\,\,\,\forall x \in \mathbb{Z}\) nên để phân thức \(\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 6}}{{x + 2}}\) có giá trị nguyên thì \(\frac{2}{{x + 2}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {x + 2} \right) \in \) Ư\(\left( 2 \right) = \left\{ { - 2; - 1;1;2} \right\}\) \(\begin{array}{l} + )\,x + 2 = - 2 \Leftrightarrow x = - 4\,\left( {TM} \right)\\ + )\,x + 2 = - 1 \Leftrightarrow x = - 3\,\left( {TM} \right)\\ + )\,x + 2 = 1 \Leftrightarrow x = - 1\,\left( {TM} \right)\\ + )\,x + 2 = 2 \Leftrightarrow x = 0\,\left( {TM} \right)\end{array}\) Vậy có 4 giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 6}}{{x + 2}}\) có giá trị nguyên.
Câu 18 :
Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{\left( {{x^2} - 4{y^2}} \right)\left( {x - 2y} \right)}}{{{x^2} - 4xy + 4{y^2}}}\) tại \(x = 98\) và \(y = 1\)
Đáp án : B Phương pháp giải :
Rút gọn phân thức \(A\): - Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung; - Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó. Tính giá trị của phân thức \(A\) với \(x = 98\) và \(y = 1\) Lời giải chi tiết :
\(A = \frac{{\left( {{x^2} - 4{y^2}} \right)\left( {x - 2y} \right)}}{{{x^2} - 4xy + 4{y^2}}} = \frac{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)\left( {x - 2y} \right)}}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}\left( {x + 2y} \right)}}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}} = x + 2y\) Tại \(x = 98\) và \(y = 1\) ta có \(A = 98 + 2.1 = 100\)
Câu 19 :
Để có các phân thức có cùng mẫu, ta cần điền vào các chỗ trống \(\frac{{x + 3}}{{{x^2} + 8x + 15}} = \frac{{x - 3}}{{...}};\,\frac{{5x - 15}}{{{x^2} - 6x + 9}} = \frac{{...}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)}}\). Các đa thức lần lượt là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Dựa vào tính chất cơ bản của phân thức đại số: - Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho: \(\frac{A}{B} = \frac{{A.M}}{{B.M}}\) (\(M\) là một đa thức khác đa thức 0) - Nếu tử và mẫu của một phân thức có nhân tử chung thì khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó ta được một phân thức bằng phân thức đã cho: \(\frac{{A:N}}{{B:N}} = \frac{A}{B}\) (\(N\) là một nhân tử chung) Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}{x^2} + 8x + 15 = {x^2} + 5x + 3x + 15 = x\left( {x + 5} \right) + 3\left( {x + 5} \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)\\ \Rightarrow \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 8x + 15}} = \frac{{x + 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \frac{1}{{x + 5}}\end{array}\) \(\begin{array}{l}{x^2} - 6x + 9 = {\left( {x - 3} \right)^2}\\ \Rightarrow \frac{{5x - 15}}{{{x^2} - 6x + 9}} = \frac{{5\left( {x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \frac{5}{{x - 3}}\end{array}\) Mẫu thức chung của hai phân thức sau khi rút gọn là \(\left( {x + 5} \right)\left( {x - 3} \right)\) Nhân tử phụ của phân thức \(\frac{{x + 3}}{{{x^2} + 8x + 15}}\) là \(x - 3\) \( \Rightarrow \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 8x + 15}} = \frac{1}{{x + 5}} = \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)}}\) Nhân tử phụ của phân thức \(\frac{{5x - 15}}{{{x^2} - 6x + 9}}\) là \(x + 5\) \( \Rightarrow \frac{{5x - 15}}{{{x^2} - 6x + 9}} = \frac{5}{{x - 3}} = \frac{{5\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{5x + 25}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)}}\) Vậy các đa thức cần tìm lần lượt là: \(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right);\,5x + 25\)
Câu 20 :
Cho \(a > b > 0\). Chọn câu đúng?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Dựa vào tính chất cơ bản của phân thức đại số: - Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho: \(\frac{A}{B} = \frac{{A.M}}{{B.M}}\) (\(M\) là một đa thức khác đa thức 0) - Nếu tử và mẫu của một phân thức có nhân tử chung thì khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó ta được một phân thức bằng phân thức đã cho: \(\frac{{A:N}}{{B:N}} = \frac{A}{B}\) (\(N\) là một nhân tử chung) Lời giải chi tiết :
Do \(a > b > 0\) nên \(a - b > 0;\,a + b > 0 \Rightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) > 0 \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} > 0\) Ta có: \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)}} = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}:\left( {a + b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right):\left( {a + b} \right)}} = \frac{{a + b}}{{a - b}}\) Nhân cả tử và mẫu của phân thức với \(\left( {a - b} \right)\) ta được: \(\frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - b} \right)}} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} < \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\) (do \(0 < {a^2} - {b^2} < {a^2} + {b^2}\))
Câu 21 :
Với điều kiện nào thì hai phân thức \(\frac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}}\) và \(\frac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}\) bằng nhau?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Dựa vào tính chất cơ bản của phân thức đại số: Nếu tử và mẫu của một phân thức có nhân tử chung thì khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó ta được một phân thức bằng phân thức đã cho: \(\frac{{A:N}}{{B:N}} = \frac{A}{B}\) (\(N\) là một nhân tử chung) Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 1 \ne 0\\{x^2} + x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ne 0\,\forall x\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 1\) \(\begin{array}{l}\frac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}} \Leftrightarrow \frac{{2\left( {1 - x} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} + x + 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{{ - 2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} + x + 1}} \Leftrightarrow \frac{{ - 2\left( {x - 1} \right):\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right):\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} + x + 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} + x + 1}} \Leftrightarrow - 2 = 2\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow x + 1 = - 1 \Leftrightarrow x = - 2\,(tm)\end{array}\)
Câu 22 :
Cho \(A = \frac{{{x^4} - {x^3} - x + 1}}{{{x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 2x + 2}}\). Kết luận nào sau đây đúng?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Rút gọn phân thức \(A\): - Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung; - Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó. Đánh giá dấu của phân thức \(A\). Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}A = \frac{{{x^4} - {x^3} - x + 1}}{{{x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 2x + 2}} = \frac{{{x^3}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right)}}{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + 2{x^2} + 2x + 2}} = \frac{{\left( {{x^3} - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{x^2}\left( {{x^2} + x + 1} \right) + 2\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 2}}\end{array}\)Ta có: \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\forall x\) và \({x^2} + 2 > 0\forall x\) nên \(A = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 2}} \ge 0\forall x\) Vậy \(A\) luôn nhận giá trị không âm với mọi \(x\).
Câu 23 :
Cho \(abc \ne 0;\,a + b = c\). Tính giá trị của phân thức \(A = \frac{{\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}}\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Từ điều kiện \(a + b = c\) tính các đa thức \({a^2} + {b^2} - {c^2};\,{b^2} + {c^2} - {a^2};\,{c^2} + {a^2} - {b^2}\) sau đó rút gọn phân thức \(A\). Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}a + b = c \Rightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = {c^2} \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} = {c^2} \Rightarrow {a^2} + {b^2} - {c^2} = - 2ab\\a + b = c \Rightarrow a = c - b \Rightarrow {a^2} = {\left( {c - b} \right)^2} \Leftrightarrow {a^2} = {c^2} - 2bc + {b^2} \Rightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 2bc\\a + b = c \Rightarrow b = c - a \Rightarrow {b^2} = {\left( {c - a} \right)^2} \Leftrightarrow {b^2} = {c^2} - 2ac + {a^2} \Rightarrow {a^2} + {c^2} - {b^2} = 2ac\end{array}\) \( \Rightarrow A = \frac{{\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}} = \frac{{\left( { - 2ab} \right)\left( {2bc} \right)\left( {2ac} \right)}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}} = \frac{{ - 8{a^2}{b^2}{c^2}}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}} = - 1\)
Câu 24 :
Cho \(a,\,b,\,c,\,d\) thỏa mãn \(a + b + c + d = 0;\,ab + ac + bc = 1\). Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{3\left( {ab - c{\rm{d}}} \right)\left( {bc - ad} \right)\left( {ca - bd} \right)}}{{\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)}}\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Từ điều kiện \(a + b + c + d = 0\) và \(ab + ac + bc = 1\) tính các đa thức \(ab - cd;\,bc - ad;\,ca - bd\) sau đó rút gọn biểu thức \(A\). Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}a + b + c + d = 0 \Rightarrow a + b + c = - d\\ \Rightarrow ab - cd = ab + c\left( {a + b + c} \right) = ab + ac + bc + {c^2} = {c^2} + 1;\\bc - ad = bc + a\left( {a + b + c} \right) = bc + {a^2} + ab + ac = {a^2} + 1;\\ca - bd = ca + b\left( {a + b + c} \right) = ca + ba + {b^2} + bc = {b^2} + 1\end{array}\) \( \Rightarrow A = \frac{{3\left( {ab - c{\rm{d}}} \right)\left( {bc - ad} \right)\left( {ca - bd} \right)}}{{\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)}} = \frac{{3\left( {{c^2} + 1} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)}}{{\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)}} = 3\)
Câu 25 :
Tính giá trị của phân thức \(A = \frac{{{a^3} - {b^3} + {c^3} + 3abc}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}}}\) biết \(a + c - b = 10\).
Đáp án : D Phương pháp giải :
Rút gọn phân thức \(A\): - Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung; - Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó. Tính giá trị của phân thức \(A\) với \(a + c - b = 10\) Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}(1)\,{a^3} - {b^3} + {c^3} + 3abc\\ = \left( {{a^3} + 3{a^2}c + 3a{c^2} + {c^3}} \right) - 3{a^2}c - 3a{c^2} + 3abc - {b^3}\\ = {\left( {a + c} \right)^3} - {b^3} - 3ac\left( {a + c - b} \right)\\ = \left( {a + c - b} \right)\left[ {{{\left( {a + c} \right)}^2} + \left( {a + c} \right)b + {b^2}} \right] - 3ac\left( {a + c - b} \right)\\ = \left( {a + c - b} \right)\left( {{a^2} + 2ac + {c^2} + ab + bc + {b^2}} \right) - 3ac\left( {a + c - b} \right)\\ = \left( {a + c - b} \right)\left( {{a^2} + 2ac + {c^2} + ab + bc + {b^2} - 3ac} \right)\\ = \left( {a + c - b} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc - ac} \right)\end{array}\) \(\begin{array}{l}(2)\,{\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {b + c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2}\\ = \left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} + 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ac + {a^2}} \right)\\ = 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} + 2ab + 2bc - 2ac\\ = 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc - ac} \right)\end{array}\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow A = \frac{{{a^3} - {b^3} + {c^3} + 3abc}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {a + c - b} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc - ac} \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc - ac} \right)}}\\ = \frac{{a + c - b}}{2} = \frac{{10}}{2} = 5\end{array}\)
Câu 26 :
Biểu thức \(A = \frac{{{x^2} + 5x + 5}}{{{x^2} + 4x + 4}}\) có giá trị lớn nhất là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Dựa vào tính chất cơ bản của phân thức đại số: Nếu tử và mẫu của một phân thức có nhân tử chung thì khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó ta được một phân thức bằng phân thức đã cho: \(\frac{{A:N}}{{B:N}} = \frac{A}{B}\) (\(N\) là một nhân tử chung) Lời giải chi tiết :
\({x^2} + 4{\rm{x}} + 4 \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2\)
Điều kiện: \(\begin{array}{l}A = \frac{{{x^2} + 5x + 5}}{{{x^2} + 4x + 4}} = \frac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}} + \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 4x + 4}} = 1 + \frac{{x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\ = 1 + \frac{{x + 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 1 + \frac{1}{{x + 2}} - \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\ = 1 - \left[ {\frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} - \frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}} \right] = 1 - \left[ {\frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} - \frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{4}} \right] + \frac{1}{4}\\ = \frac{5}{4} - {\left( {\frac{1}{{x + 2}} - \frac{1}{2}} \right)^2}\end{array}\) Ta có \({\left( {\frac{1}{{x + 2}} - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \ne - 2 \Rightarrow \frac{5}{4} - {\left( {\frac{1}{{x + 2}} - \frac{1}{2}} \right)^2} \le \frac{5}{4}\forall x \ne - 2\) hay \(A \le \frac{5}{4}\) Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{{x + 2}} - \frac{1}{2}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{x + 2}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = 0\,(tm)\) Vậy biểu thức \(A = \frac{{{x^2} + 5x + 5}}{{{x^2} + 4x + 4}}\) có giá trị lớn nhất là \(\frac{5}{4}\) tại \(x = 0\).
|
