1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng
a) Khái niệm vecto pháp tuyến
| Vecto \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) được gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nếu giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\left( \alpha \right)\). |
b) Tích có hướng của hai vecto
|
Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow u = (a;b;c)\) và \(\overrightarrow v = (a';b';c')\). Khi đó vecto vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), được gọi là tích có hướng của \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), kí hiệu là \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
|
c) Cặp vecto chỉ phương
|
Trong không gian Oxyz, hai vecto \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) được gọi là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (P) nếu chúng không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P)
Nếu \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) là cặp vecto chỉ phương của (P) thì \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) là một vecto pháp tuyến của (P).
|
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
| Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó. |
3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng
|
Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\) có phương trình là:
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + Cz + D = 0\), với \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\) |
Bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vecto chỉ phương:
Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vecto chỉ phương \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:
- Tìm vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
- Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \)
Bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng:
Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:
- Tìm cặp vecto chỉ phương \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).
- Tìm vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
- Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \)
4. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau
|
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:
\(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0,\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0,\) với hai vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\), \(\overrightarrow {n'} = (A';B';C')\) tương ứng. Khi đó:
\(\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right) \Leftrightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow {n'} \Leftrightarrow AA' + BB' + CC' = 0\).
|
5. Điều kiện để hai mặt phẳng song song với nhau
|
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:
\(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0,\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0,\) với hai vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\), \(\overrightarrow {n'} = (A';B';C')\) tương ứng. Khi đó:
\(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n'} = k\overrightarrow n \\D' \ne kD\end{array} \right.\) với k nào đó.
|
6. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
|
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là:
\(d(M,(P)) = \frac{{\left| {A{x_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}B{y_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}C{z_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\) |
Chia sẻ
Bình luận
