Giải mục 2 trang 32,33 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 32 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\). Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {A;B;C} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là một điểm thuộc \(\left( \alpha  \right)\).

a) Một điểm M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha  \right)\) khi và chỉ hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {{M_o}M} \) có mối quan hệ gì?

b) Một điểm M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha  \right)\) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức nào?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của 2 vectơ để chứng minh: Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của 2 vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {x';y';z'} \right)\) được xác định bởi công thức: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = xx' + yy' + zz'\).

Lời giải chi tiết:

a) Một điểm M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha  \right)\) khi và chỉ hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {{M_o}M} \) vuông góc với nhau.

b) Ta có: \(\overrightarrow {{M_o}M}  = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\). Vì M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha  \right)\) thì \(\overrightarrow n  \bot \overrightarrow {{M_o}M} \).

Suy ra: \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

Vậy điểm M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha  \right)\) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 32 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?

a) \({x^2} + 2{y^2} + 3{z^2} - 1 = 0\);

b) \(\frac{x}{2} - y + \frac{z}{3} + 5 = 0\);

c) \(xy + 5 = 0\).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương trình tổng quát mặt phẳng để tìm phương trình tổng quát của một mặt phẳng: Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\), trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

a) Đây không phải là phương trình tổng quát của một mặt phẳng vì phương trình không có dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\).

b) Đây là phương trình tổng quát của một mặt phẳng.

c) Đây không phải là phương trình tổng quát của một mặt phẳng vì phương trình không có dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\).

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 33 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + 2 = 0\).

a) Điểm \(A\left( { - 2;1;0} \right)\) có thuộc \(\left( \alpha  \right)\) hay không?

b) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương trình tổng quát của mặt phẳng để giải: Trong không gian Oxyz, mỗi phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) (các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0) xác định một mặt phẳng nhận \(\overrightarrow n  = \left( {A;B;C} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Lời giải chi tiết:

a) Vì \( - 2 + 2 = 0\) nên điểm \(A\left( { - 2;1;0} \right)\) thuộc \(\left( \alpha  \right)\).

b) Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) nhận \(\overrightarrow n \left( {1;0;0} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.