Giải mục 3 trang 76,77,78 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 76 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vecto \(\overrightarrow u  = ({x_1};{y_1};{z_1})\) và \(\overrightarrow v  = ({x_2};{y_2};{z_2})\). Hãy biểu diễn các vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) theo ba vecto đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) và tính tích vô hướng \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \)

Lời giải chi tiết

\(\overrightarrow u  = ({x_1};{y_1};{z_1}) = {x_1}\overrightarrow i  + {y_1}\overrightarrow j  + {z_1}\overrightarrow k \)

\(\overrightarrow v  = ({x_2};{y_2};{z_2}) = {x_2}\overrightarrow i  + {y_2}\overrightarrow j  + {z_2}\overrightarrow k \)

Ta có: \({\overrightarrow i ^2} = \overrightarrow i .\overrightarrow i  = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow i |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow i ) = 1.1.\cos 0^\circ  = 1\)

\({\overrightarrow j ^2} = \overrightarrow j .\overrightarrow j  = |\overrightarrow j |.|\overrightarrow j |.\cos (\overrightarrow j ,\overrightarrow j ) = 1.1.\cos 0^\circ  = 1\)

\({\overrightarrow k ^2} = \overrightarrow k .\overrightarrow k  = |\overrightarrow k |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow k ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 0^\circ  = 1\)

\(\overrightarrow i .\overrightarrow j  = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow j |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow j ) = 1.1.\cos 90^\circ  = 0\)

\(\overrightarrow j .\overrightarrow k  = |\overrightarrow j |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow j ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 90^\circ  = 0\)

\(\overrightarrow i .\overrightarrow k  = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 90^\circ  = 0\)

Vậy: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = ({x_1}\overrightarrow i  + {y_1}\overrightarrow j  + {z_1}\overrightarrow k ).({x_2}\overrightarrow i  + {y_2}\overrightarrow j  + {z_2}\overrightarrow k )\)

\( = {x_1}{x_2}{\overrightarrow i ^2} + {x_1}{y_2}\overrightarrow i .\overrightarrow j  + {x_1}{z_2}\overrightarrow i .\overrightarrow k  + {y_1}{x_2}\overrightarrow i .\overrightarrow j  + {y_1}{y_2}{\overrightarrow j ^2} + {y_1}{z_2}\overrightarrow j .\overrightarrow k  + {z_1}{x_2}\overrightarrow i .\overrightarrow k  + {z_1}{y_2}\overrightarrow j .\overrightarrow k  + {z_1}{z_2}{\overrightarrow k ^2}\)

\( = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}\)