TUYENSINH247 LÌ XÌ +100% TIỀN NẠP

X2 TIỀN NẠP TÀI KHOẢN HỌC TRỰC TUYẾN NGÀY 18-20/2

Chỉ còn 2 ngày
Xem chi tiết

Giải mục 2 trang 30, 31 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Chứng minh rằng ({n^3} + 2n) chia hết cho 3 với mọi (n in mathbb{N}*)

Tổng hợp đề thi giữa kì 2 lớp 10 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Thực hành 3

Chứng minh rằng n3+2nn3+2n chia hết cho 3 với mọi nN

Phương pháp giải:

Chứng minh mệnh đề đúng với np thì:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với n=p

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên n=kp và chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1. Kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với n=1 ta có 13+2.1=3 chia hết cho 3

Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp n=1

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n=k, nghĩa là có:

k3+2k chia hết cho 3

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n=k+1, nghĩa là cần chứng minh

(k+1)3+2(k+1) chia hết cho 3

Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý k1, ta có

(k+1)3+2(k+1)=k3+3k2+3k+1+2k+2=(k3+2k)+3(k2+k+1)

Vậy bất đẳng thức đúng với n=k+1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên nN.

Thực hành 4

Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi nN

1+q+q2+q3+q4+...+qn1=1qn1q(q1)

Phương pháp giải:

Chứng minh mệnh đề đúng với np thì:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với n=p

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên n=kp và chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1. Kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với n=1 ta có 1=1q1q

Như vậy đẳng thức đúng cho trường hợp n=1

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n=k, nghĩa là có:

1+q+q2+q3+q4+...+qk1=1qk1q(q1)

Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với n=k+1, nghĩa là cần chứng minh

1+q+q2+q3+q4+...+qk1+qk=1qk+11q(q1)

Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý k1, ta có

1+q+q2+q3+q4+...+qk1+qk=1qk1q+qk=1qk+qk(1q)1q=1qk+qkqk+11q=1qk+11q(q1)

Vậy đẳng thức đúng với n=k+1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi nN.

Thực hành 5

Chứng minh rằng trong mặt phẳng, n đường thẳng cùng đi qua một điểm chia mặt phẳng thành 2n phần (nN).

Phương pháp giải:

Chứng minh mệnh đề đúng với np thì:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với n=p

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên n=kp và chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1. Kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Gọi I là điểm mà các đường thẳng đi qua

Bước 1: Với n=1 ta có một đường thẳng đi qua điểm I chia mặt phẳng thành 2 phần.

Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp n=1

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n=k, nghĩa là có: k đường thẳng đi qua I chia mặt phẳng thành 2k phần. Ta chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1, tức là chứng minh k+1 đường thẳng cùng đi qua I chia mặt phẳng thành 2(k+1) phần.

Gọi đường thẳng thứ k+1 là d. Theo giả thiết quy nạp, k đường thẳng đầu tiên chia mặt phẳng thành 2k phần

Dễ thấy: Mỗi phần mặt phẳng đều là phần trong của góc có đỉnh là I và cạnh nằm trên các đường thẳng đã cho. Hơn nữa các góc tạo thành các cặp góc đối đỉnh.

Do các đường thẳng là khác nhau nên đường thẳng d phải nằm trong 1 cặp góc đối đỉnh nào đó. Nó chia 2 phần là phần trong của cặp góc này thành 4 phần.

Do đó số phần mặt phẳng được chia bởi k+1 đường thẳng là 2k+2=2(k+1).

Vậy mệnh đề đúng với n=k+1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi nN.

 

Vận dụng

(Công thức lãi kép) Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân hàng theo thể thức lãi kép (tiền sau mỗi kì hạn nếu khoongg rút ra thì được cộng vào vốn của kì kế tiếp). Giả sử lãi suất theo kì là r không đổi qua các kì hạn, ngguowif gửi không rút tiền vốn và lãi trong suốt các kì hạn đề cập sau đây. Gọi Tn là tổng số tiền vốn và lãi của người gửi sau kì hạn thứ n (nN).

a) Tính T1,T2,T3.

b) Từ đó, dự đoán công thức tính Tn và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Phương pháp giải:

PP quy nạp toán học: Chứng minh mệnh đề đúng với np thì:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với n=p

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên n=kp và chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1. Kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Sau kì thứ 1 người đó nhận được: T1=A+A.r=A(1+r)

Sau kì thứ 1 người đó không rút ra thì ở kì thứ 2 tiền vốn chính là T1, vậy người đó nhận được: T2=T1+T1.r=T1(1+r)=A.(1+r)2

Sau kì thứ 3 người đó nhận được: T3=T2+T2.r=T2(1+r)=A.(1+r)3

b) Dự đoán: Tn=A.(1+r)n (*)

Ta chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp

Với n=1 ta có T1=A(1+r)

Vậy (*) đúng với n=1

Giải sử (*) đúng với n=k tức là ta có Tk=A.(1+r)k

Ta chứng minh (*) đúng với n=k+1 tức là chứng minh  Tk+1=A.(1+r)k+1

Thật vậy, sau kì thứ k, nếu không rút lãi thì lãi được tính vào tiền vốn của kì k+1, khi đó số tiền nhận được là  Tk+1=Tk+Tk.r=Tk(1+r)=A.(1+r)k+1

Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n1.

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

close