X2 TIỀN NẠP TÀI KHOẢN HỌC TRỰC TUYẾN NGÀY 18-20/2
Giải bài 4 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạoCho a,b≥0a,b≥0. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi n∈N∗ Tổng hợp đề thi giữa kì 2 lớp 10 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh Quảng cáo
Đề bài Cho a,b≥0. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi n∈N∗ an+bn2≥(a+b2)n Lời giải chi tiết Ta chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp Với n=1 ta có a1+b12=(a+b2)1 Vậy bất đẳng thức đúng với n=1 Giải sử bất đẳng thức đúng với n=k nghĩa là có ak+bk2≥(a+b2)k Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n=k+1 tức là chứng minh ak+1+bk+12≥(a+b2)k+1 Sử dụng giả thiết quy nạp ta có: (a+b2)k+1=(a+b2)k.(a+b2)≤(ak+bk2).(a+b2) Ta sẽ nhận được điều phải chứng minh nếu chứng minh được:
(ak+bk2).(a+b2)≤ak+1+bk+12 Hay (ak+bk).(a+b)≤2(ak+1+bk+1) Hay ak+1+bk+1+bak+abk≤2(ak+1+bk+1) Hay ak+1+bk+1−bak−abk≥0 Hay (ak−bk)(a−b)≥0 đúng vì (ak−bk) và (a−b) cùng dấu, k∈N∗;a,b≥0. Vậy bất đẳng thức đúng với mọi số nguyên dương n.
Quảng cáo
|