Giải mục 2 trang 14,15,16 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

KP2

Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 14 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số $f\left( x \right) = 2x - 1$. Lấy hai nguyên hàm tuỳ ý $F\left( x \right)$ và $G\left( x \right)$ của $f\left( x \right)$, rồi tính $F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)$ và $G\left( 3 \right) - G\left( 0 \right)$. Nhận xét về kết quả nhận được.

Phương pháp giải:

Tính $\int {f\left( x \right)dx}$, sau đó chọn hai nguyên hàm $F\left( x \right)$ và $G\left( x \right)$. So sánh $F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)$ và $G\left( 3 \right) - G\left( 0 \right)$.

Lời giải chi tiết:

Ta có $\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {2x - 1} \right)dx}  = {x^2} - x + C$

Chọn $F\left( x \right) = {x^2} - x$ và $G\left( x \right) = {x^2} - x + 1$.

Ta có

$F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = \left( {{3^2} - 3} \right) - \left( {{0^2} - 0} \right) = 6$

$G\left( 3 \right) - G\left( 0 \right) = \left( {{3^2} - 3 + 1} \right) - \left( {{0^2} - 0 + 1} \right) = 6$

Như vậy $F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = G\left( 3 \right) - G\left( 0 \right)$.

TH2

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_1^3 {2xdx}$

b) $\int\limits_0^\pi  {\sin tdt}$

c) $\int\limits_0^{\ln 2} {{e^u}du}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)$, với $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$

Lời giải chi tiết:

a) $\int\limits_1^3 {2xdx}  = \left. {{x^2}} \right|_1^3 = {3^2} - {1^2} = 8$

b) $\int\limits_0^\pi  {\sin tdt}  = \left. {\left( { - \cos t} \right)} \right|_0^\pi  = \left( { - \cos \pi } \right) - \left( { - \cos 0} \right) = 2$

c) $\int\limits_0^{\ln 2} {{e^u}du}  = \left. {{e^u}} \right|_0^2 = {e^2} - {e^0} = {e^2} - 1$

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Sau khi xuất phát, ô tô di chuyển với tốc độ $v\left( t \right) = 2t - 0,03{t^2}$ $\left( {0 \le t \le 10} \right)$, trong đó $v\left( t \right)$ tính theo ${\rm{m/s}}$, thời gian $t$ tính theo giây với $t = 0$ là thời điểm xe xuất phát.

a) Tính quãng đường xe đi được sau 5 giây, sau 10 giây.

b) Tính tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $t = 10$.

Phương pháp giải:

Gọi $s\left( t \right)$ (m) là quãng đường ô tô đi được sau $t$ giây.

Ta có $s\left( t \right)$ là nguyên hàm của $v\left( t \right)$.

a) Quãng đường xe đi được sau 5 giây là $s\left( 5 \right) - s\left( 0 \right) = \int\limits_0^5 {v\left( t \right)dt}$

Quãng đường xe đi được sau 10 giây là $s\left( {10} \right) - s\left( 0 \right) = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right)dt}$

b) Tốc độ trung bình của xe là ${v_{tb}} = \frac{s}{t}$, với $s$ là quãng đường xe đi được trong khoảng thời gian $t = 10$ giây.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi $s\left( t \right)$ (m) là quãng đường ô tô đi được sau $t$ giây.

Ta có $s\left( t \right)$ là nguyên hàm của $v\left( t \right)$.

a) Quãng đường xe đi được sau 5 giây là

$s\left( 5 \right) - s\left( 0 \right) = \int\limits_0^5 {v\left( t \right)dt}  = \int\limits_0^5 {\left( {2t - 0,03{t^2}} \right)dt}  = \left. {\left( {{t^2} - 0,01{t^3}} \right)} \right|_0^5$

$= \left( {{5^2} - 0,{{01.5}^3}} \right) - \left( {{0^2} - 0,{{01.0}^3}} \right) = 23,75$

Quãng đường xe đi được sau 10 giây là

$s\left( {10} \right) - s\left( 0 \right) = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right)dt}  = \int\limits_0^{10} {\left( {2t - 0,03{t^2}} \right)dt}  = \left. {\left( {{t^2} - 0,01{t^3}} \right)} \right|_0^{10}$

$= \left( {{{10}^2} - 0,{{01.10}^3}} \right) - \left( {{0^2} - 0,{{01.0}^3}} \right) = 90$

b) Tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $t = 10$ là:

${v_{tb}} = \frac{s}{t} = \frac{{90}}{{10}} = 9$$\left( {{\rm{m/s}}} \right)$