Giải bài tập 4 trang 51 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

 

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là trọng tâm của tam giác ABC và J là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh rằng $2\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + 2\overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 3(\overrightarrow {SI}  + \overrightarrow {SJ} )$.

Lời giải chi tiết

Xét S.ABC: $\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SI}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {SI}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {SI}  + \overrightarrow {IC}  = 3\overrightarrow {SI}  + (\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC} )$

Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0$, suy ra $\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  = 3\overrightarrow {SI}$

Xét S.ACD: $\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = \overrightarrow {SJ}  + \overrightarrow {JA}  + \overrightarrow {SJ}  + \overrightarrow {JC}  + \overrightarrow {SJ}  + \overrightarrow {JD}  = 3\overrightarrow {SJ}  + (\overrightarrow {JA}  + \overrightarrow {JC}  + \overrightarrow {JD} )$

Vì J là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow {JA}  + \overrightarrow {JC}  + \overrightarrow {JD}  = \overrightarrow 0$, suy ra $\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 3\overrightarrow {SJ}$

Ta có: $\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 3\overrightarrow {SI}  + 3\overrightarrow {SJ}  \Leftrightarrow 2\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + 2\overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 3(\overrightarrow {SI}  + \overrightarrow {SJ} )$