Giải bài tập 2.17 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O và các đỉnh D, B, A’ có tọa độ lần lượt là (2; 0; 0), (0; 4; 0), (0; 0; 3) (H.2.45). Xác định tọa độ của các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật.

Lời giải chi tiết

Vì A trùng gốc O nên A(0; 0; 0).

Vì D thuộc tia Ox nên hai vectơ \(\overrightarrow {OD} \) và \(\overrightarrow i \) cùng hướng. Do đó, tồn tại số thực m sao cho \(\overrightarrow {OD}  = m\overrightarrow i \). Mà D(2; 0; 0) nên \(m = 2\).

Vì B thuộc tia Oy nên hai vectơ \(\overrightarrow {OB} \) và \(\overrightarrow j \) cùng hướng. Do đó, tồn tại số thực n sao cho \(\overrightarrow {OB}  = n\overrightarrow j \). Mà B(0; 4; 0) nên \(n = 4\)

Vì A’ thuộc tia Oz nên hai vectơ \(\overrightarrow {OA'} \) và \(\overrightarrow k \) cùng hướng. Do đó, tồn tại số thực p sao cho \(\overrightarrow {OA'}  = p\overrightarrow k \). Mà A’(0; 0; 3) nên \(p = 3\).

Vì ODCB là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {OB}  = m\overrightarrow i  + n\overrightarrow j  = 2\overrightarrow i  + 4\overrightarrow j \). Do đó, C(2; 4; 0).

Vì OA’B’B là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OB'}  = \overrightarrow {OA'}  + \overrightarrow {OB}  = p\overrightarrow k  + n\overrightarrow j  = 3\overrightarrow k  + 4\overrightarrow j \). Do đó, B’(0; 4; 3).

Vì OA’D’D là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OD'}  = \overrightarrow {OA'}  + \overrightarrow {OD}  = m\overrightarrow i  + p\overrightarrow k  = 2\overrightarrow i  + 3\overrightarrow k \). Do đó, D’(2; 0; 3).

Vì ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên theo quy tắc hình hộp ta có:

\(\overrightarrow {OC'}  = \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OA'}  = m\overrightarrow i  + n\overrightarrow j  + p\overrightarrow k  = 2\overrightarrow i  + 4\overrightarrow j  + 3\overrightarrow k \). Do đó, C’(2; 4; 3).