Giải bài tập 20 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

 

Tính các tích phân sau:

a) \(I = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - x} \right|dx} \);

b) \(I = \int\limits_0^1 {{{\left( {2x - 1} \right)}^3}dx} \);

c) \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\left( {3\sin x - \frac{2}{{{{\cos }^2}x}}} \right)}^3}dx} \);

d) \(I = \int\limits_1^2 {\left( {2{e^x} - \frac{1}{x}} \right)dx} \).

Lời giải chi tiết

a) \(I = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - x} \right|dx}  = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - x} \right|dx}  + \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - x} \right|dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {x - {x^2}} \right)dx}  + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} \)

\( = \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. + \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. = \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{8}{3} - \frac{4}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2}} \right) = 1\)

b) \(I = \int\limits_0^1 {{{\left( {2x - 1} \right)}^3}dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {8{x^3} - 12{x^2} + 6x - 1} \right)dx}  = \left( {2{x^4} - 4{x^3} + 3{x^2} - x} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = 2 - 4 + 3 - 1 = 0\)

c) \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {3\sin x - \frac{2}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx}  = \left( { - 3\cos x - 2\tan x} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{4}\\0\end{array} \right. = 1 - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

d) \(I = \int\limits_1^2 {\left( {2{e^x} - \frac{1}{x}} \right)dx}  = \left( {2{e^x} - \ln \left| x \right|} \right)\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. = 2{e^2} - \ln 2 - 2e\).