Giải bài 81 trang 108 SBT toán 10 - Cánh diều

Cho tử giác ABCD. M là điểm thay đổi trong mặt phẳng thoả mãn \(\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right).\left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right) = 0\). Chứng minh rằng điểm M luôn nằm trên một đường tròn cố định.

Quảng cáo

Đề bài

Cho tử giác ABCD. M là điểm thay đổi trong mặt phẳng thoả mãn \(\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right).\left( {\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right) = 0\). Chứng minh rằng điểm M luôn nằm trên một đường tròn cố định.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng để tìm tập hợp các điểm M

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết, \(\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right).\left( {\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 0\\\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 0\end{array} \right.\)

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của ABCD \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MP} \\\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 2\overrightarrow {MQ} \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right).\left( {\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right) = 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MP} .2\overrightarrow {MQ}  = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MQ}  = 0\)

+ Nếu M không trùng với P hoặc Q thì \(\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MQ}  = 0 \Leftrightarrow MP \bot MQ\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính PQ

+ Nếu M trùng với P hoặc Q thì hiển nhiên M thuộc đường tròn đường kính PQ

Vậy M luôn thuộc đường tròn đường kính PQ cố định

 

  • Giải bài 82 trang 108 SBT toán 10 - Cánh diều

    Cho tam giác ABC và đường thẳng d không có điểm chung với bất kì cạnh nào của tam giác. M là điểm thay đổi trên đường thẳng d. Xác định vị trí của M sao cho biểu thức \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.

  • Giải bài 80 trang 108 SBT toán 10 - Cánh diều

    Cho tam giác ABC có ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng:

  • Giải bài 79 trang 108 SBT toán 10 - Cánh diều

    a) Chứng minh đẳng thức \({\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \) với \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là hai vectơ bất kì

  • Giải bài 78 trang 107 SBT toán 10 - Cánh diều

    Cho hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 4,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5,\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {135^0}\). Tính \(\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right).\left( {2\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)\)

  • Giải bài 77 trang 107 SBT toán 10 - Cánh diều

    Một người quan sát đứng ở bờ sông muốn đo độ rộng của khúc sông chỗ chảy qua vị trí đang đứng (khúc sông tương đối thẳng, có thể xem hai bờ song song

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close