Giải bài 78 trang 107 SBT toán 10 - Cánh diều

Đề bài

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 4,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5,\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {135^0}\). Tính \(\left( {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right).\left( {2\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right)\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\left( {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right).\left( {2\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) = 2{\overrightarrow a ^2} - \overrightarrow a .\overrightarrow b  + 4\overrightarrow a .\overrightarrow b  - 2{\overrightarrow b ^2} = 2{\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 3\overrightarrow a .\overrightarrow b  - 2{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\)

Xét \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 4.5.\cos {135^0} =  - 10\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right).\left( {2\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) = {2.4^2} + 3.\left( { - 10\sqrt 2 } \right) - {2.5^2} =  - 18 - 30\sqrt 2 \)