Giải bài 8 trang 80 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hai vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) thoả mãn \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 2,\left| {\overrightarrow v } \right| = 1\) và \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {60^ \circ }\). Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow v \) và \(\overrightarrow u  - \overrightarrow v \).

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u .\overrightarrow v  = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 2.1.\cos {60^ \circ } = 1\\{\left( {\overrightarrow u  - \overrightarrow v } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2} - 2.\overrightarrow u .\overrightarrow v  + {\left| {\overrightarrow v } \right|^2} = {2^2} - 2.1 + {1^2} = 3 \Rightarrow \left| {\overrightarrow u  - \overrightarrow v } \right| = \sqrt 3 \\\cos \left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow u  - \overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow v .\left( {\overrightarrow u  - \overrightarrow v } \right)}}{{\left| {\overrightarrow v } \right|.\left| {\overrightarrow u  - \overrightarrow v } \right|}} = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v  - {{\overrightarrow v }^2}}}{{\left| {\overrightarrow v } \right|.\left| {\overrightarrow u  - \overrightarrow v } \right|}} = \frac{{1 - {1^2}}}{{1.\sqrt 3 }} = 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow u  - \overrightarrow v } \right) = {90^ \circ }\end{array}\)