Bài 64 trang 146 SBT toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC, D\) là trung điểm của \(AB,\) \(E\) là trung điểm của \(AC.\) Vẽ điểm \(F\) sao cho \(E\) là trung điểm của \(DF.\) Chứng minh rằng:

a) \(DB = CF\).

b) \(∆BDC = ∆FCD\).

c) \(DE// BC\) và \(\displaystyle DE = {1 \over 2}BC\)

Lời giải chi tiết

a) Xét \(∆ADE\) và \(∆CFE\) có:

\(AE = CE\) (vì E là trung điểm AC)

\(\widehat {A{\rm{ED}}} = \widehat {{\rm{CEF}}}\) (đối đỉnh)

\(DE = FE\) (vì E là trung điểm DF)

\( \Rightarrow  ∆ADE = ∆CFE\) (c.g.c)

\( \Rightarrow  AD = CF\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(AD = DB\) (vì \(D\) là trung điểm của \(AB\))

Vậy \(DB = CF\)

b) Ta có: \(∆ADE = ∆CFE\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}E} = \widehat {CF{\rm{E}}}\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow AD // CF\) (vì có cặp góc so le trong bằng nhau \(\widehat {A{\rm{D}}E} = \widehat {CF{\rm{E}}}\) )

Hay \(AB // CF\).

Xét \(∆DBC\) và \(∆CFD\) có:

\(BD = CF\) (chứng minh trên)

\(\widehat {B{\rm{D}}C} = \widehat {FC{\rm{D}}}\) (hai góc so le trong, \(CF // AB\))

\(DC \) cạnh chung

\( \Rightarrow   ∆DBC = ∆CFD\) (c. g. c)

c) Ta có: \( ∆DBC = ∆CFD\) (chứng minh trên)

\(\Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\) (hai góc tương ứng)

\(\Rightarrow  DE // BC\) (vì có hai góc so le trong bằng nhau \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\))

\(∆DBC = ∆CFD \) \( \Rightarrow  BC = DF\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(\displaystyle {\rm{D}}E = {1 \over 2}DF\) (vì \(E\) là trung điểm của \(DF\)).

Vậy \(\displaystyle {\rm{D}}E = {1 \over 2}BC\).

Loigiaihay.com