Bài 49 trang 60 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Chứng minh rằng khi \(a\) và \(c\) trái dấu thì phương trình trùng phương \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\) chỉ có hai nghiệm và chúng là hai số đối nhau.

Lời giải chi tiết

Phương trình \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\)

Đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)

Ta có phương trình ẩn \(t\): \(a{t^2} + bt + c = 0\)

Vì \(a\) và \(c\) trái dấu suy ra \(ac < 0.\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(t_1\) và \(t_2\).

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\displaystyle {t_1}.{t_2} = {c \over a} < 0\) nên \(t_1\) và \(t_2\) trái dấu.

Giả sử \(t_1< 0; t_2> 0\).

Vì \(t ≥ 0 ⇒ t_1< 0\) (loại).

\( \Rightarrow {x^2} = {t_2} \Rightarrow x =  \pm \sqrt {{t_2}} \).

Vậy phương trình trùng phương \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\) có hệ số \(a\) và \(c\) trái dấu thì phương trình trùng phương có \(2\) nghiệm đối nhau.

Loigiaihay.com