Giải bài 4.57 trang 73 sách bài tập toán 7 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Gọi M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB và AC lấy các điểm P, Q sao cho MP, MQ lần lượt vuông góc với AB, AC (H.4.59)

a) Chứng minh rằng MP = MQ và AP = AQ

b) Đường thẳng PQ có vuông góc với AM không? Vì sao?

Lời giải chi tiết

a) Vì tam giác ABC cân tại A nên \(AB = AC; \widehat{ABC}=\widehat{ACB}\).

Xét \(\Delta PBM\) và \(\Delta QCM\) có:

\(\widehat {BPM} = \widehat {CQM} = {90^0}\)

MB = MC (gt)

\(\begin{array}{l}\widehat {MBP}= \widehat {MCQ} (cmt) \\ \Rightarrow \Delta PBM = \Delta QCM\left( {ch - gn} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow MP = MQ\) (2 cạnh tương ứng)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AP = AB - BP\\AQ = AC - CQ\\AB=AC;BP=CP\end{array} \right. \Rightarrow AP = AQ\)

b)

Ta có: A, M cùng cách đều hai điểm P, Q nên AM là đường trung trực của đoạn thẳng PQ. Do đó AM vuông góc với PQ.