Bài 4.48 trang 173 SBT đại số và giải tích 11

Giải bài 4.48 trang 173 sách bài tập đại số và giải tích 11. Tìm giới hạn của dãy số:...

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với

LG a

\({u_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{n^2} + 1}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng giới hạn kẹp đưa về giới hạn các dãy số đã biết và tính toán

Lời giải chi tiết:

Ta có, \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{n^2} + 1}}} \right| = {1 \over {{n^2} + 1}}\). Đặt \({v_n} = {1 \over {{n^2} + 1}}\)       (1)

Ta có \(\lim {v_n} = \lim {1 \over {{n^2} + 1}} = \lim {{{1 \over {{n^2}}}} \over {1 + {1 \over {{n^2}}}}} = 0\)

Do đó, \(\left| {{v_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Từ (1) suy ra, \(\left| {{u_n}} \right| = {v_n} = \left| {{v_n}} \right|\)

Vậy, \(\left| {{u_n}} \right|\) cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là \(\lim {u_n} = 0\)

LG b

\({u_n} = {{{2^n} - n} \over {{3^n} + 1}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng giới hạn kẹp đưa về giới hạn các dãy số đã biết và tính toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{2^n} - n} \over {{3^n} + 1}}} \right| < {{{2^n}} \over {{3^n} + 1}}=v_n\)

\(\lim \dfrac{{{2^n}}}{{{3^n} + 1}} = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 + \dfrac{1}{{{3^n}}}}}\) \( = \dfrac{0}{{1 + 0}} = 0\)

\( \Rightarrow {v_n} = \dfrac{{{2^n}}}{{{3^n} + 1}}\) nhỏ hơn một số dương bé tùy ý từ một số hạng nào đó trở đi

\( \Rightarrow \left| {{u_n}} \right| < {v_n}\) cũng nhỏ hơn một số dương bé tuy ý từ một số hạng nào đó trở đi

\( \Rightarrow \lim {u_n} = 0\) (theo định nghĩa)

 Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close