Bài 42 trang 174 SBT toán 9 tập 2

Giải bài 42 trang 174 sách bài tập toán 9. Độ dài các cạnh của một tam giác ABC vuông tại A, thỏa mãn các hệ thức sau: BC = AB + 2a (1)

Quảng cáo

Đề bài

Độ dài các cạnh của một tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), thỏa mãn các hệ thức sau:

\(BC = AB + 2a \)  (1)

\(\displaystyle AC = {1 \over 2}\left( {BC + AB} \right)\) (2)

\(a\) là một độ dài cho trước

a) Tính theo \(a\), độ dài các cạnh và chiều cao \(AH\) của tam giác.

b) Tam giác \(ABC\) nội tiếp được trong nửa hình tròn tâm \(O.\) Tính diện tích của phần thuộc nửa đường tròn nhưng ở ngoài tam giác đó.

c) Cho tam giác \(ABC\) quay một vòng quanh cạnh huyền \(BC.\) Tính tỉ số diện tích giữa các phần do các dây cung \(AB\) và \(AC\) tạo ra.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Đặt độ dài cạnh \(AB = x\); điều kiện \(x > 0\). Suy ra \(BC=x+2a\).

Theo định lí Pytago lập phương trình bậc hai ẩn \(x\), từ đó giải phương trình tìm \(x\).

b) Diện tích tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là \(a;\,b\) là \(S = \dfrac{1}{2}ab\).

Diện tích hình tròn bán kính \(r\) là \(S = \pi {r^2}.\)

c) Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(r\), đường sinh \(l\) là \({S_{xq}} = \pi rl\).

Lời giải chi tiết

a) Đặt độ dài cạnh \(AB = x\); điều kiện \(x > 0\).

Theo điều kiện (1) ta có: \(BC = x + a\)  (3)

Từ (2) và (3) \( \Rightarrow\displaystyle AC = {1 \over 2}\left( {x + 2a + x} \right) = x + a\)

Áp dụng định lí Pitago vào \(\Delta ABC\) vuông tại A, ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)

\( \Rightarrow {\left( {x + 2a} \right)^2} = {x^2} + {\left( {x + a} \right)^2}\)

\( \Rightarrow {x^2} + 4ax + 4{a^2} = {x^2} + {x^2} + 2ax \)\(\,+ {a^2} \)

\( \Rightarrow{x^2} - 2ax - 3{a^2} = 0 \)

\( \Delta = {\left( { - 2a} \right)^2} - 4.1\left( { - 3{a^2}} \right) \)\(\,= 4{a^2} + 12{a^2} = 16{a^2} > 0 \)

\(\Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {16{a^2}} = 4a \)

\(\displaystyle {x_1} = {{2a + 4a} \over {2.1}} = {{6a} \over 2} = 3a \)

\(\displaystyle {x_2} = {{2a - 4a} \over {2.1}} = - a \)

Vì \(x > 0\) \( \Rightarrow {x_2} =  - a\)  (loại)

Vậy cạnh \(AB = 3a; AC = 3a + a = 4a;\) \(BC = 3a + 2a =5a\).

Ta có \(AH.BC = AB.AC\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC)\)

\( \displaystyle \Rightarrow AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{3a.4a} \over {5a}} \)\(\,\displaystyle  = {{12a} \over 5}\)

b) Diện tích của \(\Delta ABC\) là:

\(\displaystyle {S_1} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}.3a.4a = 6{a^2}\) (đơn vị diện tích)

\(\Delta ABC\) nội tiếp trong đường tròn (O) có bán kính: \(\displaystyle R = {{BC} \over 2} = {{5a} \over 2}\)

Diện tích nửa hình tròn là: \(\displaystyle {S_2} = {1 \over 2}\pi .{r^2} = {1 \over 2}\pi .{\left( {{{5a} \over 2}} \right)^2} \)\(\,\displaystyle  = {{25\pi {a^2}} \over 8}\)

Phần diện tích nửa hình tròn nằm ngoài tam giác là:

\(\displaystyle S = {S_2} - {S_1} = {{25\pi {a^2}} \over 8} - 6{a^2}\)\(\,\displaystyle = {{{a^2}} \over 8}\left( {25\pi  - 48} \right)\)

c) Khi quay \(\Delta ABC\) một vòng quanh cạnh \(BC\) thì \(AB\) và \(AC\) vạch lên hai hình nón có bán kính đáy là \(AH.\)

Diện tích xung quanh hình nón do dây cung \(AB\) tạo ra là: 

\(\displaystyle {S_1} = \pi .AH.AB = \pi .AH.3a\)

Diện tích xung quanh hình nón do dây cung cung \(AC\) tạo ra là:

\( {S_2} = \pi .AH.AC = \pi AH.4a \)

Tỉ số diện tích giữa các phần do các dây cung \(AB\) và \(AC\) tạo ra là:

\(\displaystyle {{{S_1}} \over {{S_2}}} = {{\pi .AH.3a} \over {\pi .AH.4a}} = {3 \over 4}  \).

Loigiaihay.com

  • Bài 43 trang 174 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 43 trang 174 sách bài tập toán 9. Với một hình nón có bán kính đường tròn đáy là r (cm) và chiều cao 2r (cm) và một hình cầu bán kính r (cm). Hãy tính ...

  • Bài 44 trang 174 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 44 trang 174 sách bài tập toán 9. Một cái hộp hình trụ được làm ra sao cho một quả bóng hình cầu đặt vừa khít vào hộp đó (h.111).

  • Bài 45 trang 174 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 45 trang 174 sách bài tập toán 9. Một hình trụ được “đặt khít” vào bên trong một hình cầu bán kính r = 12cm như hình 112. Hãy tính: ...

  • Bài 46 trang 175 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 46 trang 175 sách bài tập toán 9. Cho bán kính của Trái Đất và Mặt Trăng tương ứng là 6371 và 1738 kilomet. Trong các số sau đây, số nào là tỉ số thể tích giữa Trái Đất và Mặt Trăng?

  • Bài 47 trang 175 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 47 trang 175 sách bài tập toán 9. Với nửa hình cầu bán kính r và một hình trụ có bán kính đường tròn đáy và chiều cao đều bằng h ...

Quảng cáo
list
close
Gửi bài