Giải bài 35 trang 66 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

Đề bài

Chứng minh:

a) \(\frac{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }}{{\sqrt 5  + \sqrt 3 }} + \frac{{\sqrt 5  + \sqrt 3 }}{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }} - \frac{{\sqrt 5  + 1}}{{\sqrt 5  - 1}} = \frac{{13 - \sqrt 5 }}{2}\)

b) \(\frac{{x\sqrt y  + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }}:\frac{1}{{\sqrt x  - \sqrt y }} = x - y\) với \(x > 0,y > 0,x \ne y.\)

Lời giải chi tiết

a) \(VT = \frac{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }}{{\sqrt 5  + \sqrt 3 }} + \frac{{\sqrt 5  + \sqrt 3 }}{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }} - \frac{{\sqrt 5  + 1}}{{\sqrt 5  - 1}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{{{\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)}} + \frac{{{{\left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)}} - \frac{{{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 5  - 1} \right)\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}}\\ = \frac{{5 - 2\sqrt {15}  + 3}}{{5 - 3}} + \frac{{5 + 2\sqrt {15}  + 3}}{{5 - 3}} - \frac{{5 + 2\sqrt 5  + 1}}{{5 - 1}}\\ = \frac{{16}}{2} - \frac{{6 + 2\sqrt 5 }}{4}\\ = 8 - \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\ = \frac{{13 - \sqrt 5 }}{2}\\ = VP(đpcm).\end{array}\)

b) \(VT = \frac{{x\sqrt y  + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }}:\frac{1}{{\sqrt x  - \sqrt y }}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }}.\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)\\ = \left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)\\ = x - y\\ = VP\left( {đpcm} \right)\end{array}\)