Giải bài 37 trang 67 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

Đề bài

a) Cho biểu thức: \(C = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {24} }} + \frac{1}{{\sqrt {25} }}.\) Chứng minh \(C > \frac{{24}}{5}.\)

b) Cho biểu thức \(D = \left( {\frac{{y - 2}}{{y + 2\sqrt y }} + \frac{1}{{\sqrt y  + 2}}} \right).\frac{{\sqrt y  + 1}}{{\sqrt y  - 1}}\) với \(y > 0,y \ne 1.\) Chứng minh \(D = \frac{{\sqrt y  + 1}}{{\sqrt y }}.\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(2 < 3 < 4 < ... < 25\) nên \(\sqrt 2  < \sqrt 3  < \sqrt 4  < ... < \sqrt {25} \), do đó \(\frac{1}{{\sqrt 2 }} > \frac{1}{{\sqrt 3 }} > \frac{1}{{\sqrt 4 }} > ... > \frac{1}{{\sqrt {25} }}\).

Suy ra \(\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {25} }} > \frac{1}{{\sqrt {25} }} + \frac{1}{{\sqrt {25} }} + \frac{1}{{\sqrt {25} }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {25} }}\) (24 hạng tử \(\frac{1}{{\sqrt {25} }}\)).

Hay \(C > 24.\frac{1}{{\sqrt {25} }}\). Vậy \(C > \frac{{24}}{5}\).

b) \(D = \left( {\frac{{y - 2}}{{y + 2\sqrt y }} + \frac{1}{{\sqrt y  + 2}}} \right).\frac{{\sqrt y  + 1}}{{\sqrt y  - 1}}\)

 \(\begin{array}{l} = \left( {\frac{{y - 2}}{{\sqrt y \left( {\sqrt y  + 2} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt y  + 2}}} \right).\frac{{\sqrt y  + 1}}{{\sqrt y  - 1}}\\ = \frac{{y - 2 + \sqrt y }}{{\sqrt y \left( {\sqrt y  + 2} \right)}}.\frac{{\sqrt y  + 1}}{{\sqrt y  - 1}}\\ = \frac{{\left( {\sqrt y  - 1} \right)\left( {\sqrt y  + 2} \right)}}{{\sqrt y \left( {\sqrt y  + 2} \right)}}.\frac{{\sqrt y  + 1}}{{\sqrt y  - 1}}\\ = \frac{{\sqrt y  + 1}}{{\sqrt y }}\end{array}\)

Vậy \(D = \frac{{\sqrt y  + 1}}{{\sqrt y }}.\)