Giải bài 38 trang 67 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

Đề bài

Cho biểu thức \(M = \frac{1}{{2\sqrt x  - 2}} - \frac{1}{{2\sqrt x  + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{1 - x}}\) với \(x > 0\).

a) Rút gọn biểu thức M.

b) Tính giá trị biểu thức M tại \(x = \frac{4}{9}.\)

c) Tìm giá trị của x để \(\left| M \right| = \frac{1}{3}\).

Lời giải chi tiết

a) Với \(x > 0\), ta có:

 \(\begin{array}{l}M = \frac{1}{{2\sqrt x  - 2}} - \frac{1}{{2\sqrt x  + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{1 - x}}\\ = \frac{1}{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{1}{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}\\ = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}} - \frac{{\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}} + \frac{{2\sqrt x }}{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}\\ = \frac{{\sqrt x  + 1 - \left( {\sqrt x  - 1} \right) - 2\sqrt x }}{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}\\ = \frac{{2 - 2\sqrt x }}{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}\\ = \frac{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}\\ =  - \frac{1}{{1 + \sqrt x }}\end{array}\)

Vậy \(M =  - \frac{1}{{1 + \sqrt x }}\).

b) Thay \(x = \frac{4}{9}\) (thỏa mãn điều kiện) vào M, ta được:

\(M =  - \frac{1}{{1 + \sqrt x }} =  - \frac{1}{{1 + \sqrt {\frac{4}{9}} }} =  - \frac{1}{{1 + \frac{2}{3}}} = \frac{{ - 3}}{5}\)

Vậy \(M = \frac{{ - 3}}{5}\) với \(x = \frac{4}{9}\).

a)   Để \(\left| M \right| = \frac{1}{3}\) thì \(\left| { - \frac{1}{{1 + \sqrt x }}} \right| = \frac{1}{3}\)

Ta xét 2 trường hợp sau:

TH1: \( - \frac{1}{{1 + \sqrt x }} = \frac{1}{3}\)

\(\begin{array}{l} - \frac{1}{{1 + \sqrt x }} = \frac{1}{3}\\1 + \sqrt x  =  - 3\end{array}\)

\(\sqrt x  =  - 4\) (vô lý)

TH2:

 \(\begin{array}{l} - \frac{1}{{1 + \sqrt x }} =  - \frac{1}{3}\\\frac{1}{{1 + \sqrt x }} = \frac{1}{3}\\1 + \sqrt x  = 3\\\sqrt x  = 2\\x = 4(TMĐK)\end{array}\)

Vậy \(x = 4\) là giá trị cần tìm.