Giải bài 40 trang 67 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

Cho biểu thức \(P = \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{5 - \sqrt x }}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\). a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm giá trị của P tại \(x = 1\). c) Tìm giá trị của \(x\) để P nguyên.

Quảng cáo

Đề bài

Cho biểu thức \(P = \frac{2}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{5 - \sqrt x }}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\).

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm giá trị của P tại \(x = 1\).

c) Tìm giá trị của \(x\) để P nguyên.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Quy đồng các phân thức.

b) Thay \(x = 1\) và biểu thức P đã rút gọn.

c) Chặn 2 đầu của P:

Với \(x \ne 1,x \ge 0\) ta có \(\sqrt x  + 1 \ge 1\) nên \(\frac{5}{{\sqrt x  + 1}} \ge 0\) và \(\frac{5}{{\sqrt x  + 1}} \le 5\). Do đó \(0 < P \le 5\).

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện xác định: \(x \ne 1,x \ge 0\)

\(\begin{array}{l}P = \frac{2}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{5 - \sqrt x }}{{x - 1}}\\ = \frac{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{{5 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\ = \frac{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right) + 2\left( {\sqrt x  - 1} \right) - \left( {5 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\ = \frac{{2\sqrt x  + 2 + 2\sqrt x  - 2 - 5 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\ = \frac{{5\sqrt x  - 5}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\ = \frac{{5\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{5}{{\sqrt x  + 1}}\end{array}\)

b) Thay \(x = 1\) (TMĐK) vào P, ta được \(P = \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{5}{{\sqrt 1  + 1}} = \frac{5}{2}\)

Vậy \(P = \frac{5}{2}\) khi \(x = 1\).

c) Với \(x \ne 1,x \ge 0\) ta có \(\sqrt x  + 1 \ge 1\) nên \(\frac{5}{{\sqrt x  + 1}} \ge 0\) và \(\frac{5}{{\sqrt x  + 1}} \le 5\). Do đó \(0 < P \le 5\).

Vậy để P nguyên thì \(P \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\).

Ta có bảng sau:

Vậy \(x \in \left\{ {16;\frac{9}{4};\frac{4}{9};\frac{1}{{16}};0} \right\}\) là các giá trị cần tìm.

  • Giải bài 41 trang 67 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

    Tìm x, biết: a) \(\frac{1}{2}\sqrt x - \frac{3}{2}\sqrt {9x} + 24\sqrt {\frac{x}{{64}}} = - 17\) với \(x \ge 0\) b) \(\sqrt {\frac{x}{5}} = 4\) với \(x \ge 0\) c) \(\sqrt {25{x^2}} = 10\) d) \(\sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}} = 3\) e) \(2 - \sqrt[3]{{5 - x}} = 0\)

  • Giải bài 39 trang 67 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

    Cho biểu thức \(N = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right).\frac{{x + \sqrt x }}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\). a) Rút gọn biểu thức N. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của N.

  • Giải bài 38 trang 67 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

    Cho biểu thức \(M = \frac{1}{{2\sqrt x - 2}} - \frac{1}{{2\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{1 - x}}\) với \(x > 0\). a) Rút gọn biểu thức M. b) Tính giá trị biểu thức M tại \(x = \frac{4}{9}.\) c) Tìm giá trị của x để \(\left| M \right| = \frac{1}{3}\).

  • Giải bài 37 trang 67 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

    a) Cho biểu thức: \(C = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {24} }} + \frac{1}{{\sqrt {25} }}.\) Chứng minh \(C > \frac{{24}}{5}.\) b) Cho biểu thức \(D = \left( {\frac{{y - 2}}{{y + 2\sqrt y }} + \frac{1}{{\sqrt y + 2}}} \right).\frac{{\sqrt y + 1}}{{\sqrt y - 1}}\) với \(y > 0,y \ne 1.\) Chứng minh \(D = \frac{{\sqrt y + 1}}{{\sqrt y }}.\)

  • Giải bài 36 trang 66 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

    a) Cho biểu thức \(A = \frac{1}{{3 - \sqrt 8 }} - \frac{1}{{\sqrt 8 - \sqrt 7 }} + \frac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 6 }} - \frac{1}{{\sqrt 6 - \sqrt 5 }} + \frac{1}{{\sqrt 5 - 2}}\) Chứng minh rằng \(A = 5\). b) Cho biểu thức \(B = \frac{1}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \frac{1}{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\). Chứng minh rằng \(B = \sqrt 6 \).

Quảng cáo

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

close