Giải bài 36 trang 66 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

Đề bài

a) Cho biểu thức \(A = \frac{1}{{3 - \sqrt 8 }} - \frac{1}{{\sqrt 8  - \sqrt 7 }} + \frac{1}{{\sqrt 7  - \sqrt 6 }} - \frac{1}{{\sqrt 6  - \sqrt 5 }} + \frac{1}{{\sqrt 5  - 2}}\)

Chứng minh rằng \(A = 5\).

b) Cho biểu thức \(B = \frac{1}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \frac{1}{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\). Chứng minh rằng \(B = \sqrt 6 \).

Lời giải chi tiết

a) \(A = \frac{1}{{3 - \sqrt 8 }} - \frac{1}{{\sqrt 8  - \sqrt 7 }} + \frac{1}{{\sqrt 7  - \sqrt 6 }} - \frac{1}{{\sqrt 6  - \sqrt 5 }} + \frac{1}{{\sqrt 5  - 2}}\)\(\begin{array}{l} = \frac{{3 + \sqrt 8 }}{{\left( {3 - \sqrt 8 } \right)\left( {3 - \sqrt 8 } \right)}} - \frac{{\sqrt 8  + \sqrt 7 }}{{\left( {\sqrt 8  - \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 8  + \sqrt 7 } \right)}} + \frac{{\sqrt 7  + \sqrt 6 }}{{\left( {\sqrt 7  - \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt 7  + \sqrt 6 } \right)}}\\ - \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 5 }}{{\left( {\sqrt 6  - \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 6  + \sqrt 5 } \right)}} + \frac{{\sqrt 5  + 2}}{{\left( {\sqrt 5  - 2} \right)\left( {\sqrt 5  + 2} \right)}}\\ = \frac{{3 + \sqrt 8 }}{{9 - 8}} - \frac{{\sqrt 8  + \sqrt 7 }}{{8 - 7}} + \frac{{\sqrt 7  + \sqrt 6 }}{{7 - 6}} - \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 5 }}{{6 - 5}} + \frac{{\sqrt 5  + 2}}{{5 - 4}}\\ = 3 + \sqrt 8  - \sqrt 8  - \sqrt 7  + \sqrt 7  + \sqrt 6  - \sqrt 6  - \sqrt 5  + \sqrt 5  + 2\\ = 5\end{array}\)

Vậy \(A = 5\).

b) \(B = \frac{1}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \frac{1}{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } }} + \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } }}\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2}} }} + \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}} }}\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{{\left| {1 + \sqrt 3 } \right|}} + \frac{{\sqrt 2 }}{{\left| {1 - \sqrt 3 } \right|}}\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 3 }} + \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3  - 1}}\\ = \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}} + \frac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}}\\ = \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{{3 - 1}} + \frac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt 3 } \right)}}{{3 - 1}}\\ = \frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2  + \sqrt 2  + \sqrt 6 }}{2}\\ = \sqrt 6 \end{array}\)

Vậy \(B = \sqrt 6 \).