Bài 3.27 trang 156 SBT hình học 10

Giải bài 3.27 trang 156 sách bài tập hình học 10. Cho hai đường tròn (C1)...

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\): \({x^2} + {y^2} - 6x + 5 = 0\) và \(\left( {{C_2}} \right)\): \({x^2} + {y^2} - 12x - 6y + 44 = 0\).

LG a

Tìm tâm và bán kính của \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\).

Phương pháp giải:

 Đường tròn \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \).

Giải chi tiết:

 \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {3;0} \right)\) và bán kính \({R_1} = 2\);

 \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( {6;3} \right)\) và bán kính \({R_2} = 1\).

LG b

Lập phương trình tiếp tuyến chung của \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\). 

Phương pháp giải:

Xét hai trường hợp tiếp tuyến \(\Delta \) có hệ số góc \(k\) và không có hệ số góc.

Chú ý: Đường thẳng \(\Delta \) là tiếp tuyến với đường tròn \(\left( C \right)\) nếu \(d\left( {I,\Delta } \right) = R\).

Giải chi tiết:

 Xét đường thẳng \(\Delta \) có phương trình: \(y = kx + m\) hay \(kx - y + m = 0\).

Ta có: \(\Delta \) tiếp xúc với \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}d({I_1},\Delta ) = {R_1}\\d({I_2},\Delta ) = {R_2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\left| {3k + m} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 2\,\,(1)\\\dfrac{{\left| {6k - 3 + m} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1\,\,(2)\end{array} \right.\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left| {3k + m} \right| = 2\left| {6k - 3 + m} \right|\).

Trường hợp 1: \(3k + m = 2(6k - 3 + m)\)\( \Leftrightarrow m = 6 - 9k\)  (3)

Thay vào (2) ta được \(\left| {6k - 3 + 6 - 9k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)\( \Leftrightarrow \left| {3 - 3k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)

\( \Leftrightarrow 9 - 18k + 9{k^2} = {k^2} + 1\)\( \Leftrightarrow 8{k^2} - 18k + 8 = 0\)

\( \Leftrightarrow 4{k^2} - 9k + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{k_1} = \dfrac{{9 + \sqrt {17} }}{8}\\{k_2} = \dfrac{{9 - \sqrt {17} }}{8}\end{array} \right.\)

Thay giá trị của k vào (3) ta tính được \(\left[ \begin{array}{l}{k_1} = 6 - 9{k_1}\\{k_2} = 6 - 9{k_2}\end{array} \right.\)

Vậy ta được hai tiếp tuyến \({\Delta _1}:y = {k_1}x + 6 - 9{k_1};\)\({\Delta _2}:y = {k_2}x + 6 - 9{k_2}.\)

Trường hợp 2: \(3k + m =  - 2(6k - 3 + m)\)\( \Leftrightarrow 3m = 6 - 15k\)\( \Leftrightarrow m = 2 - 5k\) (4)

Thay vào (2) ta được \(\left| {6k - 3 + 2 - 5k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)\( \Leftrightarrow \left| {k - 1} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)

\( \Leftrightarrow {(k - 1)^2} = {k^2} + 1\)\( \Leftrightarrow {k^2} - 2k + 1 = {k^2} + 1\)\( \Leftrightarrow k = 0.\)

Thay giá trị của \(k\) vào (4) ta được \(m = 2\).

Vậy ta được tiếp tuyến \({\Delta _3}:y = 2.\)    

Xét đường thẳng \({\Delta _4}\) vuông góc với \(Ox\) tại \({x_0}\):\({\Delta _4}:x - {x_0} = 0.\)

\({\Delta _4}\) tiếp xúc với \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}d({I_1},{\Delta _4}) = {R_1}\\d({I_2},{\Delta _4}) = {R_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {3 - {x_0}} \right| = 2\\\left| {6 - {x_0}} \right| = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = 5\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}{x_0} = 5\\{x_0} = 7\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_0} = 5\)

Vậy ta được tiếp tuyến \({\Delta _4}:x - 5 = 0\).

Vậy hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) có bốn tiếp tuyến chung \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\), \({\Delta _3}\)và \({\Delta _4}\).

Loigiaihay.com 

Quảng cáo

2k8 Tham gia ngay group chia sẻ, trao đổi tài liệu học tập miễn phí

close