Giải bài 25 trang 14 SBT toán 10 - Cánh diều

Đề bài

Cho đa giác lồi n đỉnh (n > 3). Biết rằng, số đường chéo của đa giác đó là 170. Tìm n.

Lời giải chi tiết

Đa giác lồi có n đỉnh thì có n cạnh.

Số cách chọn 2 đỉnh trong n đỉnh là: \(C_{12}^2\) cách chọn

\( \Rightarrow \) Số đường chéo cần tìm là \(C_n^2 - n\)

Theo đề bài, ta có số đường chéo của đa giác là 170

\( \Rightarrow C_n^2 - n = 170 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}} - n = 170\)\( \Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)(n - 2)!}}{{2(n - 2)!}} - n = 170 \Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)}}{2} - n = 170\)

                         \( \Leftrightarrow n(n - 1) - 2n = 340 \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 340 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 20\\n =  - 17\end{array} \right.\)

Vì n > 3 nên ta nhận n = 20

Vậy n = 20 thỏa mãn yêu cầu bài toán