Bài 2.24 trang 76 SBT đại số và giải tích 11

Giải bài 2.24 trang 76 sách bài tập đại số và giải tích 11. Một lớp có 50 học sinh. Tính số cách phân công 4 bạn quét sân trường và 5 bạn xén cây bằng hai phương pháp để rút ra đẳng thức...

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Một lớp có \(50\) học sinh. Tính số cách phân công \(4\) bạn quét sân trường và \(5\) bạn xén cây bằng hai phương pháp để rút ra đẳng thức

\(C_{50}^9.C_9^4 = C_{50}^4.C_{46}^5.\)

Phương pháp giải:

Ta có: \(VT\) là \(C_{50}^9.C_9^4\) nghĩa là quy tắc nhân của hai hành động:

- Hành động thứ nhất là cách chọn \(9\) bạn từ \(50\) bạn

- Hành động thứ hai là cách chọn \(4\) bạn từ \(9\) bạn.

\(VT\) là \(C_{50}^4.C_{46}^5\) nghĩa là quy tắc nhân của hai hành động

- Hành động thứ nhất là cách chọn \(4\) bạn từ \(50\) bạn

- Hành động thứ hai là cách chọn \(5\) bạn từ \(46\) bạn.

Từ đó ta rút ra được hai cách để phân công các bạn đi làm việc

Cách thứ nhất là chọn \(9\) bạn trong \(50\) bạn trước rồi chọn \(4\) bạn quét sân, \(5\) bạn kia sẽ xén cây.

Cách thứ hai là chọn  luôn \(4\) bạn trong \(50\) bạn quét sân, và \(5\) trong \(46\) bạn còn lại xén cỏ.

Để tính số cách chọn ra \(9\) bạn làm việc cho hai cách ta sử dụng tổ hợp và quy tắc nhân.

Lời giải chi tiết:

Cách thứ nhất: Chọn \(9\) bạn nam trong \(50\) bạn để làm trực nhật. Có \(C_{50}^9\) cách.

Khi đã chọn được \(9\) bạn rồi, chọn \(4\) trong \(9\) bạn đó để quét sân. Có \(C_9^4\) cách.

Từ đó, theo quy tắc nhân, có \(C_{50}^9.C_9^4\) cách phân công.

Cách thứ hai: Chọn \(4\) trong \(50\) bạn để quét sân, sau đó chọn \(5\) trong \(46\) bạn còn lại để xén cây. Vậy có \(C_{50}^4.C_{46}^5\) cách phân công.

Từ đó ta có đẳng thức cần chứng minh.

LG b

Chứng minh công thức Niu-tơn

\(C_n^r.C_r^k = C_n^k.C_{n - k}^{r - k}.{\rm{   }}\left( {n \ge r \ge k \ge 0} \right).\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\) để chứng minh công thức Niu-tơn.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(VT = C_n^rC_r^k \)

\(= \dfrac{{n!}}{{r!(n - r)!}}\dfrac{{r!}}{{k!(r - k)!}}\)

\(=\dfrac{{n!}}{{ (n - r)!k!(r - k)!}} \)

\(VT = C_n^kC_{n-k}^{r-k}= \)

\(\dfrac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\dfrac{{(n-k)!}}{{(r-k)![n-k-(r - k)]!}}\)

\(= \dfrac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\dfrac{{(n-k)!}}{{(r-k)!(n-r)!}}\)

\(=\dfrac{{n!}}{{ k!(r - k)!(n - r)!}} \)

\(=VT\text{(đpcm)}\)

Cách khác:

Xét bài toán: Một lớp có n học sinh. Tính số cách để chọn ra r bạn trực nhật mà có k bạn quét sân và r-k bạn xén cây.

Giải:

Cách 1:

Số cách chọn ra r bạn trong n bạn là \(C_n^r\)

Số cách chọn ra k trong r bạn để quét sân là \(C_r^k\).

Sau khi chọn xong k bạn quét sân thì các bạn còn lại tự động vào nhóm xén cây nên có 1 cách.

Do đó có \(C_n^r.C_r^k\) cách chọn.

Cách 2:

Số cách chọn k bạn để quét sân trong số n học sinh của lớp là \(C_n^k\).

Số cách chọn r-k bạn xén cây trong số n-k bạn còn lại là \(C_{n - k}^{r - k}\).

Theo quy tắc nhân có \(C_n^k.C_{n - k}^{r - k}\) cách chọn.

Vậy \(C_n^r.C_r^k = C_n^k.C_{n - k}^{r - k}\)

LG c

Tìm chữ số ở hàng đơn vị của tổng

\(S = 0! + 2! + 4! + 6! + ... + 100!.\) 

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\text{P}=\text{n}!=1.2.3.4…\text{n}\) để tìm chữ số tận cùng của từng số hạng rồi cộng các chữ số tận cùng đó lại.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(0! = 1\); \(2! = 2\); \(4! = 1.2.3.4 = 24\); \(6!=1.2.3.4.5.6=720\) (tận cùng là \(0\));...

Tương tự với các số hạng tiếp theo ta có các số hạng \(6!\); \(8!\);...\(100!\) đều có tận cùng là chữ số \(0\). Vì trong biểu thức khai triển tính giai thừa có \(4\times5=20\) (tận cùng là \(0\)). Do đó chữ số ở  hàng đơn vị của \(S\) là \(1 + 2 + 4 = 7\).

Loigiaihay.com

  • Bài 2.25 trang 77 SBT đại số và giải tích 11

    Giải bài 2.25 trang 77 sách bài tập đại số và giải tích 11. Trong một đa giác đều bảy cạnh, kẻ các đường chéo. Hỏi có bao nhiêu giao điểm của các đường chéo, trừ các đỉnh?

  • Bài 2.26 trang 77 SBT đại số và giải tích 11

    Giải bài 2.26 trang 77 sách bài tập đại số và giải tích 11. Tìm số các số nguyên dương gồm năm chữ số sao cho mỗi chữ số của số đó lớn hơn chữ số ở bên phải nó.

  • Bài 2.27 trang 77 SBT đại số và giải tích 11

    Giải bài 2.27 trang 77 sách bài tập đại số và giải tích 11. Có 7 người khách dưới sân ga lên một đoàn tàu 6 toa. Nếu số khách này lên tàu một cách tùy ý thì số cách lên tàu là...

  • Bài 2.28 trang 77 SBT đại số và giải tích 11

    Giải bài 2.28 trang 77 sách bài tập đại số và giải tích 11. Có 7 người khách dưới sân ga lên một đoàn tàu 6 toa. Nếu toa đầu lên 2 khách, số khách còn lại mỗi người lên một toa tàu khác thì số cách lên tàu là...

  • Bài 2.29 trang 77 SBT đại số và giải tích 11

    Giải bài 2.29 trang 77 sách bài tập đại số và giải tích 11. Một lớp có 20 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Số cách bầu một ban cán sự lớp 4 người, trong đó có ít nhất một học sinh nam là...

Quảng cáo
list
close
Gửi bài