Giải bài 2 trang 31 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^3} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} - x + m - 1\) (\(m\) là tham số).

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m =  - 1\).

b) Tìm giá trị của \(m\) để tâm đối xứng của đồ thị hàm số có hoành độ \({x_0} =  - 2\).

Lời giải chi tiết

a) Với \(m =  - 1\), hàm số có dạng: \(y = \left( { - 1 - 1} \right){x^3} + 2\left( { - 1 + 1} \right){x^2} - x - 1 - 1\) hay \(y =  - 2{x^3} - x - 2\).

1. Tập xác định: \(\mathbb{R}\).

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên:

Đạo hàm \(y' =  - 6{{\rm{x}}^2} - 1 < 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

Do \(y' < 0\) trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

Hàm số đã cho không có cực trị:

• Các giới hạn tại vô cực:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3}\left( { - 2 - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{2}{{{x^3}}}} \right) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^3}\left( { - 2 - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{2}{{{x^3}}}} \right) =  - \infty \).

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( { - 1;1} \right),\left( {0; - 2} \right),\left( {1; - 5} \right)\).

Vậy đồ thị hàm số được biểu diễn như hình vẽ.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I\left( { - 2;0} \right)\).

b) \(y'=3\left( m-1 \right){{x}^{2}}+4\left( m+1 \right)x-1;y''=6\left( m-1 \right)x+4\left( m+1 \right)\)

\(y''=0\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\x = \frac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{{3\left( {m - 1} \right)}}\end{array} \right.\)

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có hoành độ \(x =  - 2\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\x = \frac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{{3\left( {m - 1} \right)}} =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\).