Bài 140 trang 34 SBT toán 7 tập 1

Đề bài

Cho \(x, y ∈\mathbb Q\). Chứng tỏ rằng:

a) \(\left| {x + y} \right| \le \left| x \right| + \left| y \right|\)

b) \(\left| {x - y} \right| \ge \left| x \right| - \left| y \right|\)

Lời giải chi tiết

a) Với mọi \(x, y ∈\mathbb Q\), ta có:

\(x \le \left| x \right|\) và \( - x \le \left| x \right|;y \le \left| y \right|\) và \(- y \le \left| y \right|\)

\(\begin{gathered}
\Rightarrow x + y \leqslant |x| + |y| \hfill \\
\, - x - y \leqslant |x| + |y| \hfill \\ 
\end{gathered} \)

Vì \(- x - y \leqslant |x| + |y|\)

\(\Rightarrow x + y \ge  - \left( {\left| x \right| + \left| y \right|} \right)\)

Suy ra \( - \left( {\left| x \right| + \left| y \right|} \right) \le x + y \le \left| x \right| + \left| y \right|\)

Vậy \(\left| {x + y} \right| \le \left| x \right| + \left| y \right|\)

Dấu "=" xảy ra khi \(xy ≥ 0.\)

b) Theo kết quả câu a) ta có: \(\left| {\left( {x - y} \right) + y} \right| \le \left| {x - y} \right| + \left| y \right|\)

\( \Rightarrow \left| x \right| \le \left| {x - y} \right| + \left| y \right| \)

\(\Rightarrow \left| x \right| - \left| y \right| \le \left| {x - y} \right|\) 

Dấu "=" xảy ra khi \(xy ≥ 0\) và \(\left| x \right| \ge \left| y \right|\)

Loigiaihay.com