Bài 1.3 phần bài tập bổ sung trang 158 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hình thoi \( ABCD\) có \(\widehat A = 60^\circ \). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo; \( E, F, G, H\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB, BC, CD, DA.\) Chứng minh rằng sáu điểm \(E, B, F, G, D, H\) thuộc cùng một đường tròn. 

Lời giải chi tiết

Do \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD\). 

* Xét tam giác vuông \(AOB\) có OE là đường trung tuyến nên:

\(OE = \dfrac{1}{2}AB\)

* Xét tam giác vuông \(COB\) có OF là đường trung tuyến nên:

\(OF  = \dfrac{1}{2}BC\)

* Xét tam giác vuông \(COD\) có OG là đường trung tuyến nên:

\(OG  = \dfrac{1}{2}DC\)

* Xét tam giác vuông \(AOD\) có OH là đường trung tuyến nên:

\(OH = \dfrac{1}{2}AD\)

Do \(ABCD\) là hình thoi nên \( AB = BC = DC = AD\)

Suy ra \(OE=OF=OG=OH=\dfrac{1}{2}AB\) (1)

* Ta có \(\widehat A = 60^\circ \) (gt) suy ra \(\widehat {OAB} = 30^\circ \) (vì AO là phân giác góc A)

Xét tam giác vuông \(AOB\) ta có: \(OB =AB\sin \widehat {OAB}= \sin 30^\circ .AB\) hay \(OB = \dfrac{1}{2}AB\)

Lại có \(OB=OD\) (vì ABCD là hình thoi)

Nên \(OD =OB = \dfrac{1}{2}AB\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(OE=OF=OG=OH=OD=OB\) 

Suy ra sáu điểm \(E, B, F, G, D, H\) thuộc cùng một đường tròn tâm \(O\) bán kính \(OB.\)

Loigiaihay.com