Giải bài 11 trang 65 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Người ta muốn thiết kế một lều cắm trại có dạng là một phần mặt cầu bằng phần mềm 3D. Cho biết phương trình bề mặt của lều là \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\), phương trình mặt phẳng chứa cửa lều là \(\left( P \right):x = 2\), phương trình chứa sàn lều là \(\left( Q \right):z = 0\). Tìm tâm và bán kính đường tròn cửa lều và đường tròn sàn lều.

Lời giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {3;3;1} \right)\) bán kính \(R = \sqrt 9  = 3\).

Gọi \({r_1},{r_2}\) lần lượt là bán kính đường tròn cửa lều và đường tròn sàn lều, \({d_1},{d_2}\) lần lượt là khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường tròn cửa lều và đường tròn sàn lều.

Mặt phẳng \(\left( P \right):x = 2 \Leftrightarrow x - 2 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;0;0} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(I\left( {3;3;1} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):x = 2\) là: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 3\\z = 1\end{array} \right.\).

Toạ độ tâm \({I_1}\) của đường tròn cửa lều có dạng: \({I_1}\left( {3 + t;3;1} \right)\)

\({I_1} \in \left( P \right) \Leftrightarrow 3 + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1 \Leftrightarrow {I_1}\left( {2;3;1} \right)\).

Ta có: \({d_1} = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = 1\)

Suy ra \({r_1} = \sqrt {{R^2} - d_1^2}  = \sqrt {{3^2} - {1^2}}  = 2\sqrt 2 \)

Vậy đường tròn cửa lều có tâm \({I_1}\left( {2;3;1} \right)\) bán kính \({r_1} = 2\sqrt 2 \).

Mặt phẳng \(\left( Q \right):z = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {0;0;1} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(I\left( {3;3;1} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):z = 0\) là: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3\\z = 1 + t\end{array} \right.\).

Toạ độ tâm \({I_2}\) của đường tròn cửa lều có dạng: \({I_2}\left( {3;3;1 + t} \right)\)

\({I_2} \in \left( Q \right) \Leftrightarrow 1 + t = 0 \Leftrightarrow t =  - 1 \Leftrightarrow {I_2}\left( {3;3;0} \right)\).

Ta có: \({d_2} = d\left( {I;\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = 1\)

Suy ra \({r_2} = \sqrt {{R^2} - d_2^2}  = \sqrt {{3^2} - {1^2}}  = 2\sqrt 2 \)

Vậy đường tròn cửa lều có tâm \({I_2}\left( {3;3;0} \right)\) bán kính \({r_2} = 2\sqrt 2 \).