Giải bài 11 trang 32 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Cho hàm số (y = frac{{{x^2} + 2{rm{x}} - m}}{{x - 1}}) ((m) là tham số). a) Tìm (m) để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị. b) Chứng tỏ rằng khi (m = 2), hàm số có hai điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này.

Quảng cáo

Đề bài

Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - m}}{{x - 1}}\) (\(m\) là tham số).

a) Tìm \(m\) để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

b) Chứng tỏ rằng khi \(m = 2\), hàm số có hai điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Để đồ hàm số đã cho có hai điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Đạo hàm

\(\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} - m} \right)}^\prime }\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} - m} \right){{\left( {x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {2{\rm{x}} + 2} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} - m} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + m - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

Để đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt, tức là phương trình \({x^2} - 2{\rm{x}} + m - 2 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m - 2} \right) > 0\\{1^2} - 2.1 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - m > 0\\m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\m \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 3\).

Vậy với \(m < 3\) thì đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

b) Vì \(m = 2\) thoả mãn điều kiện \(m < 3\) nên khi \(m = 2\), hàm số có hai điểm cực trị.

Với \(m = 2\) hàm số có dạng: \(y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 2}}{{x - 1}}\)

Đạo hàm \(y' = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}};y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \({\rm{x}} = 2\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và ${{y}_{CĐ}}=2$.

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) và \({y_{CT}} = 6\).

Giả sử phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là \(y = ax + b\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2 = a.0 + b\\6 = a.2 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = 2\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là \(y = 2x + 2\).

  • Giải bài 10 trang 32 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m - 1} \right)x - 2}}{{m - 2 - x}}\) (\(m\) là tham số). Tìm điều kiện của \(m\) để đồ thị hàm số đã cho có một nhánh nằm hoàn toàn trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục toạ độ \(Oxy\).

  • Giải bài 9 trang 32 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 2}}{{{\rm{x}} - 1}}\) a) Tìm toạ độ giao điểm \(I\) của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số. b) Với \(t\) tuỳ ý \(\left( {t \ne 0} \right)\), gọi \(M\) và \(M'\) lần lượt là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là \({x_M} = {x_I} - t\) và \({x_{M'}} = {x_I} + t\). So sánh các tung độ \({y_M}\) và \({y_{M'}}\). Từ đó, suy ra rằng hai điểm \(M\) và \(M'\) đối xứng với nhau qua \(I\).

  • Giải bài 8 trang 32 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) (y = frac{{{x^2} - 2{rm{x}} + 2}}{{{rm{x}} - 1}}); b) (y = - 2{rm{x}} + frac{1}{{2{rm{x}} + 1}}).

  • Giải bài 7 trang 32 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Cho hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{ - x + 3}}\). Chứng tỏ rằng đường thẳng \(y = - x\) cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.

  • Giải bài 6 trang 32 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Ta đã biết đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{x + 1}}\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 1\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\). a) Tìm toạ độ giao điểm \(I\) của đường tiệm cận. b) Với \(t\) tuỳ ý \(\left( {t \ne 0} \right)\), gọi \(M\) và \(M'\) lần lượt là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là \({x_M} = {x_I} - t\) và \({x_{M'}} = {x_I} + t\). Tìm các tung độ \(y\left( {{x_M}} \right)\) và \(y\left( {{x_{M'}}} \right)\). Từ đó, chứng minh rằng hai đ

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

close