Bài 11 trang 197 SBT toán 9 tập 2

Giải bài 11 trang 197 sách bài tập toán 9. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R) có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Chứng minh rằng AB^2 + CD^2 = 4R^2.

Quảng cáo

Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \((O;R)\) có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau. Chứng minh rằng \(A{B^2} + C{D^2} = 4{R^2}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

- Trên một đường tròn hai dây song song chắn hai cung bằng nhau.

- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

- Định lí Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của các cạnh góc vuông.

Lời giải chi tiết

Kẻ đường kính \(BB'\). Nối \(B'A,B'D,B'C\).

\( \widehat {B'DB} = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

\( \Rightarrow DB' \bot BD\)

Mặt khác \(AC\bot BD\) (gt)

\( \Rightarrow DB'//AC\)

Vì \(AC//DB'\) nên  \(sđ\overparen {AD}_\text{nhỏ} = sđ\overparen {B'C}_\text{nhỏ}\)

\(sđ\overparen {ADB'} = sđ\overparen {AD}_\text{nhỏ} + sđ\overparen {DB'}_\text{nhỏ}\)

\(sđ\overparen {CB'D} = sđ\overparen {B'C}_\text{nhỏ} + sđ\overparen {DB'}_\text{nhỏ}\)

Mà  \(sđ\overparen {AD}_\text{nhỏ} = sđ\overparen {B'C}_\text{nhỏ}\)

\( \Rightarrow sđ\overparen {ADB'} = sđ\overparen {CB'D}\).

\( \Rightarrow AB' = CD\) (các dây cung chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau)    (1)

Ta có \(\widehat {BAB'} = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(BAB'\) có:

\(A{B^2} + AB{'^2} = BB{'^2}\)        (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(A{B^2} + C{D^2} = BB{'^2}\)

Hay \(A{B^2} + C{D^2} = 4{R^2}\).

Loigiaihay.com

  • Bài 12 trang 197 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 12 trang 197 sách bài tập toán 9. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Trên đường chéo BD lấy điểm E sao cho góc DAE = góc BAC ...

  • Bài 13 trang 197 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 13 trang 197 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn đường kính AB và một dây CD. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với CD, cắt AB tại I...

  • Bài 14 trang 197 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 14 trang 197 sách bài tập toán 9. Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E . Kẻ EF vuông góc với AD...

  • Bài 15 trang 197 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 15 trang 197 sách bài tập toán 9. Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn. Trên cung nhỏ AB lấy một điểm C...

  • Bài 16 trang 197 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 16 trang 197 sách bài tập toán 9. Một hình trụ có đường cao bằng đường kính đáy. Biết rằng thể tích hình trụ là 128πcm^3. Tính diện tích xung quanh của nó.

Quảng cáo

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

close