Lý thuyết Vecto trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức

- Vecto trong không gian là một đoạn thẳng có hướng

- Độ dài của vecto trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vecto đó

- Hai vecto được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau

- Nếu hai vecto cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng

- Hai vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) và \(\mathop b\limits^ \to  \)được gọi là bằng nhau, kí hiệu \(\mathop a\limits^ \to  \) = \(\mathop b\limits^ \to  \), nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng

Trong không gian, cho hai vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) và \(\mathop b\limits^ \to  \). Lấy một điểm A bất kì và các điểm B,C sao cho \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b \). Khi đó, vecto \(\overrightarrow {AC} \) được gọi là tổng của hai vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) và \(\mathop b\limits^ \to  \), kí hiệu là \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b \)

Trong không gian, phép lấy tổng của hai vecto được gọi là phép cộng vecto

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AC'} \)

Trong không gian, vecto có cùng độ dài và ngược hướng với vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) được gọi là vecto đối của vecto \(\mathop a\limits^ \to  \), kí hiệu là - \(\mathop a\limits^ \to  \)

Vecto \(\mathop a\limits^ \to   + ( - \mathop b\limits^ \to  )\) được gọi là hiệu của hai vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) và \(\mathop b\limits^ \to  \) và kí hiệu là \(\mathop a\limits^ \to   - \mathop b\limits^ \to  \)

Trong không gian, phép lấy hiệu của hai vecto được gọi là phép trừ vecto

Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vecto \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \) là một vecto, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \), được xác định như sau:

- Cùng hướng với vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) nếu k > 0; ngược hướng với vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) nếu k < 0

- Có độ dài bằng \(\left| k \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|\)

Trong không gian, phép lấy tích của một số với một vecto được gọi là phép nhân một số với một vecto

Trong không gian, cho hai vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) và \(\mathop b\limits^ \to  \) khác \(\mathop 0\limits^ \to  \). Lấy một điểm O bất kỳ và gọi A, B là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b \). Khi đó, góc \(\widehat {AOB}({0^ \circ } \le \widehat {AOB} \le {180^ \circ })\) được gọi là góc giữa hai vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) và \(\mathop b\limits^ \to  \), kí hiệu \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

Trong không gian, cho hai vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) và \(\mathop b\limits^ \to  \) khác \(\mathop 0\limits^ \to  \). Tích vô hướng của hai vecto \(\mathop a\limits^ \to  \) và \(\mathop b\limits^ \to  \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b \), được xác định bởi công thức

\(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)