Giải bài tập 2.12 trang 59 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {DC} \);
b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD}  - \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {CD} \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB} } \right) = \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {AB} \) (đpcm)

b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {DB}  + \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD} } \right).\overrightarrow {BC} \)

\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BD} .\overrightarrow {BC} \)

\( = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {BD} .\overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {BC} \left( {\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {BD} } \right) = 0\)