Lý thuyết Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Toán 12 Cánh Diều1. Sơ đồ khảo sát hàm số Các bước khảo sát hàm số Quảng cáo
1. Sơ đồ khảo sát hàm số Các bước khảo sát hàm số
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 4\) 1. Tập xác định của hàm số: R 2. Sự biến thiên: Ta có: \(y' = - 3{x^2} + 6x\). Vậy y’ = 0 khi x = 0 hoặc x = 2 Trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\), y’ > 0 nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = - 4\). Hàm số đạt cực đại tại x = 2, giá trị cực đại Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \) BBT:
4. Đồ thị: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left( {0;4} \right)\) Ta có: y = 0 \( \Leftrightarrow \)x = -1 hoặc x = 2. Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {2;0} \right)\) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \(\left( {1; - 2} \right)\) 3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ a) Hàm số phân thức \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}(c \ne 0,ad - bc \ne 0)\) Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) 1. Tập xác định của hàm số: R\{2} 2. Sự biến thiên: Ta có: \(y' = - \frac{3}{{{{(x - 2)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne 2\) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\) Hàm số không có cực trị Tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } - \infty = 1\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = + \infty \) Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận ngang là y = 1 BBT:
4. Đồ thị: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left( {0; - \frac{1}{2}} \right)\) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left( { - 1;0} \right)\) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I \(\left( {2;1} \right)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng b) Hàm số phân thức \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{px + q}}(a \ne 0,p \ne 0)\) (đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu) Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 2}}\) 1. Tập xác định của hàm số: R\{2} 2. Sự biến thiên: Viết \(y = x + 1 + \frac{1}{{x - 2}}\) Ta có: \(y' = 1 - \frac{1}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{(x - 2)}^2}}}\) . Vậy y’ = 0 \( \Leftrightarrow \) x = 1 hoặc x = 3 Trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\), y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này Trên các khoảng \(\left( {1;2} \right)\) và \(\left( {2;3} \right)\), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này Hàm số đạt cực đại tại x = 1 với ; hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 với \({y_{CT}} = 5\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = + \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x - 2}} = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{x - 2}} = 0\)
Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận xiên là y = x+1 BBT:
3. Đồ thị: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\). Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};0} \right);\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};0} \right)\) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I \(\left( {2;3} \right)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng 4. Ứng dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn Ví dụ: Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức \(f(t) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}}\) (f(t) được tính bằng nghìn người) a) Tính số dân của thị trấn vào năm 2022 b) Xem y = f(t) là một hàm số xác định trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số f(t) c) Đạo hàm của hàm số y = f(t) biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm)
Giải: a) Ta có: \(f(52) = \frac{{26.52 + 10}}{{52 + 5}} = \frac{{1362}}{{57}} \approx 23,895\) (nghìn người) Vậy số dân của thị trấn vào năm 2022 khoảng 23895 nghìn người b) 1) Sự biến thiên
\(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f(t) = 26\). Do đó, đường thẳng y = 26 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
\(f'(t) = \frac{{120}}{{{{(t + 5)}^2}}} > 0\) với mọi \(t \ge 0\)
Hàm số đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\). Hàm số không có cực trị 2) Đồ thị
c)
\(f'(52) = \frac{{120}}{{{{(52 + 5)}^2}}} = \frac{{40}}{{1083}}\)
\(f'(t) = 0,192 \Leftrightarrow \frac{{120}}{{{{(t + 5)}^2}}} = 0,192 \Leftrightarrow {(t + 5)^2} = 625 \Leftrightarrow t = 20\) (do \(t \ge 0\)) Vậy vào năm 1990, tốc độ tăng dân số là 0,192 nghìn người/năm
Quảng cáo
|