Giải mục 4 trang 46, 47 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo

HĐ4

Cho điểm \(M(x;y)\) trên elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)và hai đường thẳng \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\) và \({\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0\) (Hình 10). Gọi \(d(M,{\Delta _1});d(M,{\Delta _2})\) lần lượt là khoảng cách từ M đến \({\Delta _1},{\Delta _2}.\) Ta có \(d(M,{\Delta _1}) = \left| {x + \frac{a}{e}} \right| = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e} = \frac{{a + ex}}{e}\) (vì \(e > 0\) và \(a + ex = M{F_1} > 0\)).

Suy ra \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{a + ex}}{{\frac{{a + ex}}{e}}} = e\)

Dựa theo cách tính trên, hãy tính \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(d(M,{\Delta _2}) = \left| {x - \frac{a}{e}} \right| = \frac{{\left| {a - ex} \right|}}{e} = \frac{{a - ex}}{e}\) (vì \(e > 0\) và \(a - ex = M{F_2} > 0\)).

Suy ra \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = \frac{{a - ex}}{{\frac{{a - ex}}{e}}} = e\)

Thực hành 4

Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các elip sau:

a)  \(({E_1}):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

b) \(({E_2}):\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)

Phương pháp giải:

Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\)

+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}(c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0\)

Lời giải chi tiết:

a) Elip \(({E_1})\) có \(a = 2,b = 1\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt 3 ,e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - \sqrt 3 ;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{4\sqrt 3 }}{3} = 0\)

+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{{4\sqrt 3 }}{3} = 0\)

b) Elip \(({E_2})\) có \(a = 10,b = 6\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 8,e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}.\)

+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - 8;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{25}}{2} = 0\)

+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}\left( {8;0} \right)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{{25}}{2} = 0\)

Vận dụng 4

Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là \(\frac{{50}}{3}\).

Phương pháp giải:

Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} \)

+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: \(\frac{{2a}}{e}\)

Lời giải chi tiết:

< b < a)\)

+ Tiêu cự: \(2c = 6 \Leftrightarrow c = 3\)

+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: \(\frac{{2a}}{e} = 2.\frac{{{a^2}}}{c} = \frac{{50}}{3} \Rightarrow {a^2} = 100\)

Hay \(a = 10\), suy ra \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 91\)

Vậy elip cần tìm là \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{91}} = 1\)