Giải mục 2 trang 45 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 45 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\).

a) Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi giá của \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) có mối quan hệ gì?

b) Tìm điều kiện đối với \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) để \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về giá của vectơ trong không gian tìm mối quan hệ: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ được gọi là giá của vectơ.

Lời giải chi tiết:

a) Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi giá của \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) vuông góc với nhau.

b) Nếu \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau thì giá của \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) vuông góc với nhau. Khi đó, \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0 \Rightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 0\).

LT7

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 45 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\). Hỏi đường thẳng \(\Delta \) có vuông góc với trục Oz không?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về hai đường thẳng vuông góc với nhau để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó, \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0 \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 0\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {2;1; - 1} \right)\). Trục Oz có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\).

Vì \(2.0 + 1.0 - 1.1 =  - 1 \ne 0\) nên đường thẳng \(\Delta \) không vuông góc với trục Oz.

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 45 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó tương ứng thuộc hai đường thẳng: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + t\\z = 0\end{array} \right.;{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2s\\y = 2s\\z = 1\end{array} \right.\). Hỏi hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai đường thẳng vuông góc: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó, \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0 \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 0\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;1;0} \right)\)

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 2;2;0} \right)\)

Vì \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 1.\left( { - 2} \right) + 1.2 + 0.0 = 0\) nên hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau.

Do đó, hai con đường trên vuông góc với nhau.