Giải bài tập 5.40 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right),B\left( {0;1;2} \right),C\left( { - 1; - 2;3} \right)\).

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

b) Viết phương trình đường thẳng AC.

c) Viết phương trình mặt cầu đường kính AC.

d) Viết phương trình mặt cầu có tâm A và đi qua B.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;1;3} \right),\overrightarrow {AC} \left( { - 2; - 2;4} \right) \Rightarrow \frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AC}  = \left( {1;1; - 2} \right)\)

a) Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\1&{ - 2}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 1}\\{ - 2}&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\1&1\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 5;1; - 2} \right)\)

Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right)\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 5;1; - 2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (ABC) là:

\( - 5\left( {x - 1} \right) + y - 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 5x + y - 2z + 3 = 0\)

b) Đường thẳng AC đi qua điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right)\) và nhận \(\frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AC}  = \left( {1;1; - 2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình chính tắc đường thẳng AC là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\) phương trình tham số đường thẳng AC là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = t\\z =  - 1 - 2t\end{array} \right.\).

c) Gọi I là trung điểm của AC nên \(I\left( {0; - 1;1} \right)\)

Mặt cầu đường kính AC có bán kính \(R = \frac{{AC}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}}  = \sqrt 6 \) và tâm \(I\left( {0; - 1;1} \right)\) nên phương trình mặt cầu là: \({x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\)

d) Mặt cầu tâm A đi qua B có tâm là \(A\left( {1;0; - 1} \right)\) và bán kính \(AB = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {3^2}}  = \sqrt {11} \) nên phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 11\)