Giải bài tập 5.3 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M\left( {1; - 1;5} \right)\) và vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( Q \right):3x + 2y - z = 0\), \(\left( R \right):x + y - z = 0\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {3;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_R}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\1&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\{ - 1}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\1&1\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 1;2;1} \right)\)

Vì (P) vuông góc với hai mặt phẳng (Q) và (R) nên (P) nhận \(\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right] = \left( { - 1;2;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Mà (P) là mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {1; - 1;5} \right)\) nên phương trình (P) là: \( - 1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 1} \right) + 1\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow  - x + 2y + z - 2 = 0\)