Giải bài tập 1.8 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thứcCho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left| x \right|\). a) Tính các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\). Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại \(x = 0\). b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại \(x = 0\) (Xem Hình 1.4). Quảng cáo
Đề bài Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left| x \right|\). a) Tính các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\). Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại \(x = 0\). b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại \(x = 0\) (Xem Hình 1.4). Phương pháp giải - Xem chi tiết a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm \({x_0} \in (a;b)\). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm \({x_0}\), kí hiệu bởi \(f'({x_0})\) (hoặc \(y'({x_0})\), tức là \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\). b) Sử dụng kiến thức về cực trị hàm số để tìm cực tiểu của hàm số: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (a có thể là \( - \infty \), b có thể là \( + \infty \)) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\). Nếu tồn tại số \(h > 0\) sao cho \(f\left( x \right) > f\left( {{x_0}} \right)\) với mọi \(x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại \({x_0}\). Lời giải chi tiết a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{x} = 1\). \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - x}}{x} = - 1\). Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\) nên hàm số không có đạo hàm tại \(x = 0\). b) Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \left| x \right|\):
Ta có: \(y = f\left( x \right) = \left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l} - x\;khi\;x \in \left( { - \infty ;0} \right)\\x\;\;\;khi\;x \in \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right.\). Hàm số \(y = f\left( x \right) = \left| x \right|\) liên tục và xác định trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\). Với số \(h > 0\) ta có: Với \(x \in \left( { - h;h} \right) \subset \left( { - \infty ; + \infty } \right)\) và \(x \ne 0\) thì \(y = f\left( x \right) = \left| x \right| > 0 = f\left( 0 \right)\). Do đó, hàm số \(y = f\left( x \right) = \left| x \right|\) có cực tiểu là \(x = 0\).  Chia sẻ Bình luận
Group ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
|
Danh sách bình luận